Calcule.
\int\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\bigl(x - \tfrac{1}{x}\bigr)^{2}dx.
Vamos usar o conteúdo de manipulação algébrica para expandir o integrando e aplicar a regra de potência para integrar termo a termo.

Passo 2

Expandindo o quadrado, temos
\bigl(x - \tfrac{1}{x}\bigr)^{2} = x^{2} -2 + x^{-2}.

Passo 3

Integramos cada termo separadamente:
\int x^{2}dx = \tfrac{x^{3}}{3}, \quad \int (-2)\,dx = -2x, \quad \int x^{-2}dx = \int x^{-2}dx = -x^{-1}.
Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(x - \tfrac{1}{x}\bigr)^{2}dx = \tfrac{x^{3}}{3} - 2x - \tfrac{1}{x} + C.

Resposta

\boxed{\tfrac{x^{3}}{3} - 2x - \tfrac{1}{x} + C}

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