Calcule.
\int\left(3 v^{5}-v^{5 / 3}\right) d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(3v^{5}-v^{5/3}\bigr)\,dv.
Este é um caso de regra do poder: para qualquer expoente n \neq -1 vale
\int v^{n}\,dv = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Vamos separar em duas integrais mais simples, usando linearidade:
\int\bigl(3v^{5}-v^{5/3}\bigr)\,dv = 3\int v^{5}\,dv \;-\;\int v^{5/3}\,dv.

Passo 3

Para a primeira parte, com n=5, temos
\int v^{5}\,dv = \frac{v^{6}}{6},
portanto
3\int v^{5}\,dv = 3\cdot\frac{v^{6}}{6} = \frac{v^{6}}{2}.

Passo 4

Para a segunda parte, com n=\tfrac{5}{3}, soma-se 1 ao expoente:
n+1 = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3},
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\int v^{5/3}\,dv = \frac{v^{8/3}}{8/3} = \frac{3\,v^{8/3}}{8}.
E como há o sinal negativo, fica
-\int v^{5/3}\,dv = -\frac{3\,v^{8/3}}{8}.

Resposta

\int\bigl(3v^{5}-v^{5/3}\bigr)\,dv = \frac{v^{6}}{2} \;-\; \frac{3\,v^{8/3}}{8} + C.

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