Calcule.
\int\left(2 v^{1 / 4}+6 v^{1 / 4}+3 v^{-4}\right) d v

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\int\bigl(2v^{1/4} + 6v^{1/4} + 3v^{-4}\bigr)\,dv.
O conteúdo aqui é a regra de potência para integrais, ou seja, \int v^a\,dv = \frac{v^{a+1}}{a+1} + C.

Passo 2

Primeiro, combine os termos semelhantes 2v^{1/4} e 6v^{1/4}:
2v^{1/4} + 6v^{1/4} = 8v^{1/4}.
Assim a integral fica
\int\bigl(8v^{1/4} + 3v^{-4}\bigr)\,dv.

Passo 3

Aplique a regra de potência a 8v^{1/4}:
\int 8v^{1/4}\,dv = 8 \cdot \frac{v^{1/4 + 1}}{1/4 + 1} = 8 \cdot \frac{v^{5/4}}{5/4} = \frac{32}{5}\,v^{5/4}.

Passo 4

Aplique a regra de potência a 3v^{-4}:
\int 3v^{-4}\,dv = 3 \cdot \frac{v^{-4 + 1}}{-4 + 1} = 3 \cdot \frac{v^{-3}}{-3} = -\,v^{-3}.

Passo 5

Some os resultados e acrescente a constante C:
\int\bigl(2v^{1/4} + 6v^{1/4} + 3v^{-4}\bigr)\,dv = \frac{32}{5}\,v^{5/4} \;-\; v^{-3} \;+\; C.

Resposta

\frac{32}{5}\,v^{5/4} - v^{-3} + C

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