Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida do campo vetorial dado por
Informações e o que é pedido:
- O integrando é o vetor cujas componentes são
, e . - A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) desse vetor, isto é, uma função vetorial
tal que . - Observação: aqui
é o seno usual, que em notação padrão usaremos como .
Passo 2
Regra básica que vamos usar (expliquei devagar porque isso é chave):
- A integral de um vetor é feita componente a componente. Ou seja, para funções escalares
,
onde
é um vetor constante de integração
. Cada
é uma constante real independente — isso representa a família completa de primitivas.
Passo 3
Integrando a primeira componente
:
- Usamos a regra do coeficiente constante e a regra do poder:
- Aplicando:
Portanto a primitiva da primeira componente é
.
Passo 4
Integrando a terceira componente
:
- Constante sai da integral e
, então
Logo a primitiva da terceira componente é
.
Passo 5
Integrando a segunda componente
— aqui precisa de calma, porque é o ponto “chato”:
- Tentativa simples de substituição: se fizéssemos
então . Mas o integrando é , que não contém o fator , então essa substituição não transforma a integral numa forma imediata . Portanto não existe uma primitiva expressável por uma combinação finita das funções elementares usuais (polinômios, exponenciais, sen, cos, log, etc.). - Duas formas práticas de continuar:
- Deixar a primitiva escrita como uma integral não elementar
e lembrar que isso faz parte da primitiva vetorial. - Obter uma expressão em série (válida para todos
reais, convergente e útil pra cálculo manual aproximado). Vou mostrar a série porque é construtiva e dá uma primitiva explícita em termos de potências de .
- Deixar a primitiva escrita como uma integral não elementar
Série:
- Sabemos que
- Substituindo
:
- Integramos termo a termo (justificável por convergência uniforme em compactos):
- Essa série fornece uma primitiva analítica para a segunda componente; é a forma “prática” de escrever a antiderivada quando não há primitiva elementar.
Passo 6
Agora juntamos as componentes e colocamos o vetor constante de integração
.
Duas formas equivalentes de escrever a primitiva vetorial:
Duas formas equivalentes de escrever a primitiva vetorial:
- Forma curta (mantendo a integral não resolvida):
- Forma com a série explícita para a segunda componente:
Um lembrete amigo: na prova, se o enunciado não exigir que a primitiva seja expressa em termos de funções elementares, escrever a segunda componente como
é totalmente aceitável; se precisar de aproximação numérica, use os primeiros termos da série mostrada.