Calcule
\int\left\langle 3 t^{2}, \operatorname{sen}\left(t^{3}\right), 4\right\rangle d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida do campo vetorial dado por
\int \left\langle 3 t^{2}, \operatorname{sen}\!\bigl(t^{3}\bigr), 4\right\rangle dt.
Informações e o que é pedido:
  • O integrando é o vetor cujas componentes são 3t^{2}, \operatorname{sen}(t^{3}) e 4.
  • A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) desse vetor, isto é, uma função vetorial \mathbf{F}(t) tal que \mathbf{F}'(t)=\langle 3t^{2}, \operatorname{sen}(t^{3}), 4\rangle.
  • Observação: aqui \operatorname{sen} é o seno usual, que em notação padrão usaremos como \sin.

Passo 2

Regra básica que vamos usar (expliquei devagar porque isso é chave):
  • A integral de um vetor é feita componente a componente. Ou seja, para funções escalares f,g,h,
\int \langle f(t),g(t),h(t)\rangle\,dt=\Big\langle \int f(t)\,dt,\;\int g(t)\,dt,\;\int h(t)\,dt\Big\rangle + \mathbf{C},
onde \mathbf{C} é um vetor constante de integração \mathbf{C}=(C_1,C_2,C_3). Cada C_i é uma constante real independente — isso representa a família completa de primitivas.

Passo 3

Integrando a primeira componente \int 3t^{2}\,dt:
  • Usamos a regra do coeficiente constante e a regra do poder:
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}\quad\text{para }n\neq -1.
  • Aplicando:
\int 3t^{2}\,dt = 3\int t^{2}\,dt = 3\cdot \frac{t^{3}}{3}=t^{3}.
Portanto a primitiva da primeira componente é t^{3}.

Passo 4

Integrando a terceira componente \int 4\,dt:
  • Constante sai da integral e \int 1\,dt=t, então
\int 4\,dt = 4t.
Logo a primitiva da terceira componente é 4t.

Passo 5

Integrando a segunda componente \int \sin(t^{3})\,dt — aqui precisa de calma, porque é o ponto “chato”:
  • Tentativa simples de substituição: se fizéssemos u=t^{3} então du=3t^{2}\,dt. Mas o integrando é \sin(t^{3})\,dt, que não contém o fator t^{2}, então essa substituição não transforma a integral numa forma imediata \int \sin u\,du. Portanto não existe uma primitiva expressável por uma combinação finita das funções elementares usuais (polinômios, exponenciais, sen, cos, log, etc.).
  • Duas formas práticas de continuar:
    1. Deixar a primitiva escrita como uma integral não elementar \int \sin(t^{3})\,dt e lembrar que isso faz parte da primitiva vetorial.
    2. Obter uma expressão em série (válida para todos t reais, convergente e útil pra cálculo manual aproximado). Vou mostrar a série porque é construtiva e dá uma primitiva explícita em termos de potências de t.
Série:
  • Sabemos que
\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
  • Substituindo x=t^{3}:
\sin(t^{3})=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{6n+3}}{(2n+1)!}.
  • Integramos termo a termo (justificável por convergência uniforme em compactos):
\int \sin(t^{3})\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!}\int t^{6n+3}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{6n+4}}{(6n+4)(2n+1)!} + C_2.
  • Essa série fornece uma primitiva analítica para a segunda componente; é a forma “prática” de escrever a antiderivada quando não há primitiva elementar.

Passo 6

Agora juntamos as componentes e colocamos o vetor constante de integração \mathbf{C}=(C_1,C_2,C_3).
Duas formas equivalentes de escrever a primitiva vetorial:
  • Forma curta (mantendo a integral não resolvida):
\mathbf{F}(t)=\Big\langle t^{3},\;\int \sin(t^{3})\,dt,\;4t\Big\rangle + \mathbf{C}.
  • Forma com a série explícita para a segunda componente:
\mathbf{F}(t)=\left\langle t^{3},\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{6n+4}}{(6n+4)(2n+1)!},\;4t\right\rangle + \mathbf{C}.
Um lembrete amigo: na prova, se o enunciado não exigir que a primitiva seja expressa em termos de funções elementares, escrever a segunda componente como \int \sin(t^{3})\,dt é totalmente aceitável; se precisar de aproximação numérica, use os primeiros termos da série mostrada.

Resposta

\displaystyle \Big\langle t^{3},\;\int \sin(t^{3})\,dt,\;4t\Big\rangle + \mathbf{C}
\displaystyle \text{ou}
\displaystyle \left\langle t^{3},\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{6n+4}}{(6n+4)(2n+1)!},\;4t\right\rangle + \mathbf{C}

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