Encontre uma antiderivada de
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma antiderivada de
Ou seja:
- Qual é a função vetorial
tal que para os do domínio considerado? - Informação dada: os três componentes de
são , e (observe que está definido apenas para ).
Passo 2
Ideia geral e regra que vamos usar (explicação didática).
- Uma antiderivada de uma função vetorial é obtida integrando componente a componente. Se
então uma antiderivada é
mais uma constante vetorial
(cada componente pode ter sua constante).
- Vou aplicar isso componente a componente e explicar cada integral como se estivéssemos num exame.
Passo 3
Integral da primeira componente
.
- Lembre a fórmula padrão: para constante
, tem-se . - Podemos justificar com substituição: seja
. Então e . Assim
Passo 4
Integral da segunda componente
.
- Fato básico de integrais:
, porque . - Portanto
Passo 5
Integral da terceira componente
.
- A integral de
é a famosa do logaritmo: . O valor absoluto aparece porque o logaritmo natural só recebe argumentos positivos, e a primitiva deve valer tanto para quanto para . - Importante: essa componente só faz sentido para
, então o domínio da antiderivada será ou (ou seja, cada primitiva é válida em qualquer intervalo que não contenha ). - Logo
Passo 6
Juntar as componentes e escrever a antiderivada geral; verificar por diferenciação.
- Combinando os resultados:
onde
são constantes reais arbitrárias.
- É mais compacto escrever a constante como vetor
e a antiderivada como
- Verificação rápida por derivação componente a componente:
Essas derivadas reproduzem exatamente
, como exigido.
Passo 7
Observações finais e dicas para prova (rápidas e motivadoras).
- Sempre que ver uma função vetorial, pense “integro cada componente”. Isso economiza muito tempo.
- Lembre de tratar
com cuidado: usar e lembrar que . - Respire: a resposta é direta e suficiente para a maioria das questões de prova; pratique outras primitivas básicas para ganhar confiança — você já está no caminho certo!