Encontre uma antiderivada de
\vec{F}(t)=\left\langle e^{2 t}, \cos t, t^{-1}\right\rangle .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma antiderivada de
\vec{F}(t)=\left\langle e^{2t},\,\cos t,\,t^{-1}\right\rangle.
Ou seja:
  • Qual é a função vetorial \vec{G}(t) tal que \vec{G}\,'(t)=\vec{F}(t) para os t do domínio considerado?
  • Informação dada: os três componentes de \vec{F}(t) são e^{2t}, \cos t e t^{-1} (observe que t^{-1} está definido apenas para t\neq 0).

Passo 2

Ideia geral e regra que vamos usar (explicação didática).
  • Uma antiderivada de uma função vetorial é obtida integrando componente a componente. Se
\vec{F}(t)=\langle f_1(t),f_2(t),f_3(t)\rangle,
então uma antiderivada é
\vec{G}(t)=\left\langle \int f_1(t)\,dt,\;\int f_2(t)\,dt,\;\int f_3(t)\,dt\right\rangle,
mais uma constante vetorial \vec{C}=\langle C_1,C_2,C_3\rangle (cada componente pode ter sua constante).
  • Vou aplicar isso componente a componente e explicar cada integral como se estivéssemos num exame.

Passo 3

Integral da primeira componente e^{2t}.
  • Lembre a fórmula padrão: para constante a\neq0, tem-se \displaystyle \int e^{a t}\,dt=\frac{1}{a}e^{a t}+C.
  • Podemos justificar com substituição: seja u=2t. Então du=2\,dt e dt=\dfrac{du}{2}. Assim
\int e^{2t}\,dt=\int e^{u}\cdot\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int e^{u}\,du=\frac{1}{2}e^{u}+C_1=\frac{1}{2}e^{2t}+C_1.

Passo 4

Integral da segunda componente \cos t.
  • Fato básico de integrais: \displaystyle \int \cos t\,dt=\sin t + C, porque \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t.
  • Portanto
\int \cos t\,dt=\sin t + C_2.

Passo 5

Integral da terceira componente t^{-1}.
  • A integral de t^{-1} é a famosa do logaritmo: \displaystyle \int \frac{1}{t}\,dt=\ln|t|+C. O valor absoluto aparece porque o logaritmo natural só recebe argumentos positivos, e a primitiva deve valer tanto para t>0 quanto para t<0.
  • Importante: essa componente só faz sentido para t\neq 0, então o domínio da antiderivada será (-\infty,0) ou (0,\infty) (ou seja, cada primitiva é válida em qualquer intervalo que não contenha 0).
  • Logo
\int t^{-1}\,dt=\ln|t|+C_3.

Passo 6

Juntar as componentes e escrever a antiderivada geral; verificar por diferenciação.
  • Combinando os resultados:
\vec{G}(t)=\left\langle \frac{1}{2}e^{2t}+C_1,\;\sin t + C_2,\;\ln|t|+C_3\right\rangle,
onde C_1,C_2,C_3 são constantes reais arbitrárias.
  • É mais compacto escrever a constante como vetor \vec{C}=\langle C_1,C_2,C_3\rangle e a antiderivada como
\vec{G}(t)=\left\langle \frac{1}{2}e^{2t},\;\sin t,\;\ln|t|\right\rangle+\vec{C}.
  • Verificação rápida por derivação componente a componente:
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}e^{2t}\right)=\frac{1}{2}\cdot 2 e^{2t}=e^{2t}, \quad \frac{d}{dt}(\sin t)=\cos t, \quad \frac{d}{dt}(\ln|t|)=\frac{1}{t}.
Essas derivadas reproduzem exatamente \vec{F}(t), como exigido.

Passo 7

Observações finais e dicas para prova (rápidas e motivadoras).
  • Sempre que ver uma função vetorial, pense “integro cada componente”. Isso economiza muito tempo.
  • Lembre de tratar t^{-1} com cuidado: usar \ln|t| e lembrar que t\neq0.
  • Respire: a resposta é direta e suficiente para a maioria das questões de prova; pratique outras primitivas básicas para ganhar confiança — você já está no caminho certo!

Resposta

\displaystyle \vec{G}(t)=\left\langle \frac{1}{2}e^{2t},\;\sin t,\;\ln|t|\right\rangle+\langle C_1,C_2,C_3\rangle

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