Determine
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral do campo vetorial (função vetorial) no intervalo
. Os dados são:
- A função vetorial a ser integrada é
. - O intervalo de integração é
.
A pergunta concreta é: calcular
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): a integral de uma função vetorial definida por componentes é feita componente a componente. Ou seja, se
então
Isto decorre da linearidade da integral: integra-se cada componente independentemente. Aqui temos
,
e
.
Passo 3
Aplicando a propriedade componente a componente, escrevemos
Passo 4
Calcular a primeira componente
.
Regra usada: antiderivada de
é
para
. Aqui
, então uma primitiva é
.
Portanto
Passo 5
Calcular a segunda componente
.
Observação: em português
é a função seno, isto é
. Regra usada: antiderivada de
é
porque
.
Portanto
Sabendo
, obtemos
Passo 6
Calcular a terceira componente
.
Regra usada: pode-se tirar constante da integral (linearidade):
. Antiderivada de
é
.
Assim
Passo 7
Juntando as três componentes calculadas: