Determine
\int_{0}^{1}\left\langle t^{2}, \operatorname{sen} t, 3 t\right\rangle d t .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral do campo vetorial (função vetorial) no intervalo [0,1]. Os dados são:
  • A função vetorial a ser integrada é \left\langle t^{2},\\ \operatorname{sen} t,\\\ 3t\right\rangle.
  • O intervalo de integração é [0,1].
    A pergunta concreta é: calcular
\int_{0}^{1}\left\langle t^{2},\\ \operatorname{sen} t,\\\ 3t\right\rangle dt.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): a integral de uma função vetorial definida por componentes é feita componente a componente. Ou seja, se
\mathbf{f}(t)=\left\langle f_{1}(t),\\ f_{2}(t),\\ f_{3}(t)\right\rangle,
então
\int_{a}^{b}\mathbf{f}(t)\,dt=\left\langle \int_{a}^{b}f_{1}(t)\,dt,\\ \int_{a}^{b}f_{2}(t)\,dt,\\ \int_{a}^{b}f_{3}(t)\,dt\right\rangle.
Isto decorre da linearidade da integral: integra-se cada componente independentemente. Aqui temos f_{1}(t)=t^{2}, f_{2}(t)=\operatorname{sen} t e f_{3}(t)=3t.

Passo 3

Aplicando a propriedade componente a componente, escrevemos
\int_{0}^{1}\left\langle t^{2},\\ \operatorname{sen} t,\\\ 3t\right\rangle dt = \left\langle \int_{0}^{1}t^{2}\,dt,\\ \int_{0}^{1}\operatorname{sen} t\,dt,\\ \int_{0}^{1}3t\,dt\right\rangle.

Passo 4

Calcular a primeira componente \displaystyle \int_{0}^{1}t^{2}\,dt.
Regra usada: antiderivada de t^{n} é \dfrac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aqui n=2, então uma primitiva é \dfrac{t^{3}}{3}.
Portanto
\int_{0}^{1}t^{2}\,dt=\left[\dfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1^{3}}{3}-\dfrac{0^{3}}{3}=\dfrac{1}{3}.

Passo 5

Calcular a segunda componente \displaystyle \int_{0}^{1}\operatorname{sen} t\,dt.
Observação: em português \operatorname{sen} t é a função seno, isto é \operatorname{sen} t=\sin t. Regra usada: antiderivada de \sin t é -\cos t porque \dfrac{d}{dt}(-\cos t)=\sin t.
Portanto
\int_{0}^{1}\operatorname{sen} t\,dt=\left[-\cos t\right]_{0}^{1} = -\cos 1 -\bigl(-\cos 0\bigr) = -\cos 1 + \cos 0.
Sabendo \cos 0=1, obtemos
\int_{0}^{1}\operatorname{sen} t\,dt = 1 - \cos 1.

Passo 6

Calcular a terceira componente \displaystyle \int_{0}^{1}3t\,dt.
Regra usada: pode-se tirar constante da integral (linearidade): \displaystyle \int 3t\,dt = 3\int t\,dt. Antiderivada de t é \dfrac{t^{2}}{2}.
Assim
\int_{0}^{1}3t\,dt = 3\left[\dfrac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = 3\cdot\left(\dfrac{1^{2}}{2}-0\right)=\dfrac{3}{2}.

Passo 7

Juntando as três componentes calculadas:
\int_{0}^{1}\left\langle t^{2},\\ \operatorname{sen} t,\\\ 3t\right\rangle dt = \left\langle \dfrac{1}{3},\\\ 1-\cos 1,\\ \dfrac{3}{2}\right\rangle.

Resposta

\left\langle \dfrac{1}{3},\\\ 1-\cos 1,\\ \dfrac{3}{2}\right\rangle

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