Calcule a Intugual
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para calcular a integral definida da função $ x^{2} - 1 - x $ no intervalo de $ x = -1 $ até $ x = 2 $. Isso faz parte do cálculo integral, onde queremos encontrar a área sob a curva dessa função nesse intervalo específico. Para resolver, vamos precisar saber como integrar polinômios e aplicar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral definida. Basicamente, ela nos dá a área entre a curva da função e o eixo $ x $ no intervalo especificado. A função que vamos integrar é $ f(x) = x^{2} - x - 1 $. Vamos reescrever a integral para facilitar:
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo da função separadamente. A regra básica para integrar $ x^{n} $ em relação a $ x $ é:
Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos da constante de integração $ C $. Vamos aplicar essa regra a cada termo da nossa função:
- $ \int x^{2} , dx = \frac{x^{3}}{3} $
- $ \int (-x) , dx = -\frac{x^{2}}{2} $
- $ \int (-1) , dx = -x $
Então, a antiderivada da função $ f(x) $ é:
Passo 4
Com a antiderivada encontrada, vamos aplicar os limites de integração, que são $ x = -1 $ e $ x = 2 $. Isso significa que vamos avaliar a antiderivada nesses pontos e calcular a diferença:
Passo 5
Vamos calcular cada parte separadamente:
Para $ x = 2 $:
Então:
Para $ x = -1 $:
Então:
Passo 6
Agora, subtraindo os valores obtidos:
Resposta
O valor da integral definida é $ -\frac{3}{2} $.