Dada a equação
y d x-(x+y^2) d y=0
resolva a equação.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y,dx - (x + y^2),dy = 0
Esse tipo de equação podemos tratar dividindo tudo por uma função de y que facilite a identificação de uma derivada exata, ou usar fator integrante. Aqui vamos dividir por y^2.

Passo 2

Começamos dividindo a equação por y^2 (supondo yneq0):
y,dxy^2 - x + y^2y^2,dy = 0
Isto é,
dxy - xy^2,dy - dy = 0

Passo 3

Note que os dois primeiros termos formam a derivada da razão x/y. De fato, pela regra do quociente:
dl(xyr)=y,dx - x,dyy^2
Logo podemos reescrever
dxy - xy^2,dy = dl(xyr)

Passo 4

Substituindo na equação obtém-se
dl(xyr) - dy = 0
ou seja
dl(xyr) = dy

Passo 5

Agora basta integrar os dois lados:
integral dl(xyr) = integral dy
isso dá
xy = y + C

Passo 6

Por fim, isolamos x:
x = y,(y + C) = y^2 + C,y
que é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral é
x = y^2 + C,y, CinR

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