Dada a equação
y d x-(x+y^2) d y=0
determine se a equação é não-exata e um possível fator integrante;

Passo 1

Temos a equação diferencial abaixo:
y,dx - (x+y^2),dy = 0
Queremos verificar se ela é exata e, caso não seja, encontrar um fator integrante. O conteúdo é equações diferenciais exatas e fatores integrantes, e precisaremos aplicar o teste de exatidão e as fórmulas de fator integrante que dependem unicamente de x ou de y.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=y e N(x,y)=-(x+y^2). Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=1,
partial Npartial x=-1
Como 1neq -1, a equação não é exata.

Passo 3

Para testar um fator integrante que dependa apenas de x, usamos a condição
1Nl(partial Mpartial y-partial Npartial xr)
que, ao substituir, fica
-2x+y^2,
o que depende de y, logo não serve.

Passo 4

Para testar um fator integrante que dependa apenas de y, usamos a condição
1Ml(partial Npartial x-partial Mpartial yr)
que, ao substituir, fica
-2y,
que depende só de y, satisfazendo a condição.

Passo 5

Logo, um fator integrante possível é
mu(y)=expl(integral -2y,dyr)=y^-2

Resposta

A equação é não exata, e um possível fator integrante é mu(y)=y^-2.

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