Numa reação química uma substância
se transforma em outra substância
com uma velocidade proporcional à quantidade de
ainda não transformada. Dispondo, inicialmente, de 8 gramas de
, verifica-se que ao cabo de meia hora restam ainda 4 gramas. Determine a expressão da quantidade que resta no final de
horas e a quanto resta ao final de duas horas.
Passo 1
O enunciado fala de uma reação de primeira ordem, isto é, a velocidade de transformação de A em B é proporcional à quantidade de A que ainda não reagiu. Começamos com 8 g de A, e aos 0,5 h restam 4 g. Precisamos modelar isso por uma EDO, achar a solução geral e depois determinar a constante de proporcionalidade k.
Passo 2
Montamos a equação diferencial de primeira ordem:
Ela se resolve por separação de variáveis:
Integrando vem
ou seja
Passo 3
Aplicamos a condição inicial em t=0: A(0)=8. Logo C=8 e
Passo 4
Usamos agora A(0,5)=4:
Passo 5
Com k em mãos, a expressão final é
Para t=2
encontra-se
encontra-se
Resposta
A expressão da quantidade que resta após t horas é
. Ao final de 2 horas resta
gramas de A.