Numa reação química uma substância A se transforma em outra substância B com uma velocidade proporcional à quantidade de A ainda não transformada. Dispondo, inicialmente, de 8 gramas de A, verifica-se que ao cabo de meia hora restam ainda 4 gramas. Determine a expressão da quantidade que resta no final de t horas e a quanto resta ao final de duas horas.

Passo 1

O enunciado fala de uma reação de primeira ordem, isto é, a velocidade de transformação de A em B é proporcional à quantidade de A que ainda não reagiu. Começamos com 8 g de A, e aos 0,5 h restam 4 g. Precisamos modelar isso por uma EDO, achar a solução geral e depois determinar a constante de proporcionalidade k.

Passo 2

Montamos a equação diferencial de primeira ordem:
dAdt=-kA
Ela se resolve por separação de variáveis:
integral1A,dA=-integral k,dt
Integrando vem
ln A=-kt+C'
ou seja
A(t)=C e^-kt

Passo 3

Aplicamos a condição inicial em t=0: A(0)=8. Logo C=8 e
A(t)=8e^-kt

Passo 4

Usamos agora A(0,5)=4:
8e^-0,5k=4Rightarrow e^-0,5k=tfrac12Rightarrow -0,5k=-ln2Rightarrow k=2ln2

Passo 5

Com k em mãos, a expressão final é
A(t)=8e^-2ln2,t=8cdot2^-2t
Para t=2
encontra-se
A(2)=8cdot2^-4=8cdottfrac116=0,5 g

Resposta

A expressão da quantidade que resta após t horas é A(t)=8cdot2^-2t. Ao final de 2 horas resta 0,5 gramas de A.

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