Calcule a inversa da matriz A, caso ela exista:
A=(lll 2 & 1 & 0 0 & 3 & 1 1 & 0 & 4 )

Passo 1

Beleza, vamos calcular a inversa da matriz A se ela existir. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o cálculo da matriz inversa. Para isso, vamos precisar usar conceitos como determinante, matriz adjunta e a própria fórmula da matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz A é inversível. Para isso, precisamos calcular o determinante de A . Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa.
A matriz A é:
A = 2 & 1 & 0 0 & 3 & 1 1 & 0 & 4

Passo 3

Vamos calcular o determinante de A . Para uma matriz 3x3, o determinante é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz:
a & b & c d & e & f g & h & i = 2 & 1 & 0 0 & 3 & 1 1 & 0 & 4
Então:
det(A) = 2(3 times 4 - 1 times 0) - 1(0 times 4 - 1 times 1) + 0(0 times 0 - 3 times 1)
det(A) = 2(12 - 0) - 1(0 - 1) + 0(0 - 3)
det(A) = 2 times 12 - 1 times (-1) + 0 times (-3)
det(A) = 24 + 1 + 0 = 25

Passo 4

Como o determinante de A é 25, que é diferente de zero, a matriz A possui inversa. Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de A .
A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de A . Vamos calcular os cofatores de cada elemento de A .

Passo 5

Vamos calcular os cofatores:
  • Cofator C11 :
C11 = det 3 & 1 0 & 4 = (3 times 4) - (1 times 0) = 12
  • Cofator C12 :
C12 = -det 0 & 1 1 & 4 = -(0 times 4 - 1 times 1) = -(-1) = 1
  • Cofator C13 :
C13 = det 0 & 3 1 & 0 = (0 times 0) - (3 times 1) = -3
  • Cofator C21 :
C21 = -det 1 & 0 0 & 4 = -(1 times 4 - 0 times 0) = -4
  • Cofator C22 :
C22 = det 2 & 0 1 & 4 = (2 times 4) - (0 times 1) = 8
  • Cofator C23 :
C23 = -det 2 & 1 1 & 0 = -((2 times 0) - (1 times 1)) = -(-1) = 1
  • Cofator C31 :
C31 = det 1 & 0 3 & 1 = (1 times 1) - (0 times 3) = 1
  • Cofator C32 :
C32 = -det 2 & 0 0 & 1 = -(2 times 1 - 0 times 0) = -2
  • Cofator C33 :
C33 = det 2 & 1 0 & 3 = (2 times 3) - (1 times 0) = 6

Passo 6

Agora, formamos a matriz dos cofatores:
Cof(A) = 12 & 1 & -3 -4 & 8 & 1 1 & -2 & 6
Em seguida, obtemos a matriz adjunta tirando a transposta da matriz dos cofatores:
Adj(A) = 12 & -4 & 1 1 & 8 & -2 -3 & 1 & 6

Passo 7

Finalmente, a matriz inversa de A é dada por:
A^-1 = 1det(A) times Adj(A)
Substituindo os valores que temos:
A^-1 = 125 times 12 & -4 & 1 1 & 8 & -2 -3 & 1 & 6
A^-1 = 1225 & -425 & 125 125 & 825 & -225 -325 & 125 & 625

Resposta

A inversa da matriz A é:
A^-1 = 1225 & -425 & 125 125 & 825 & -225 -325 & 125 & 625

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