É verdade que existem matrizes A e B, quadradas de ordem n, tais que AB-BA=In, onde In denota a matriz identidade de ordem n?

Passo 1

Então, a questão que a gente tem aqui é: Será que existem matrizes quadradas A e B de ordem n que, ao calcularmos AB - BA , o resultado seja a matriz identidade In ? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, operações entre elas e uma propriedade chamada “traço” de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz identidade In . Ela é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e o resto são 0. Por exemplo, para n = 2 :
I2 = 1 & 0 0 & 1

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a operação AB - BA . Isso significa que primeiro multiplicamos A por B e depois subtraímos a multiplicação de B por A . Essa diferença é chamada de comutador de A e B .

Passo 4

Um conceito importante aqui é o “traço” de uma matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal. Por exemplo, o traço de In é n , porque temos n elementos iguais a 1 na diagonal.

Passo 5

Tem uma propriedade bem legal das matrizes: o traço de um comutador sempre é zero. Ou seja:
tr(AB - BA) = tr(AB) - tr(BA) = 0
Isso acontece porque tr(AB) = tr(BA) .

Passo 6

Mas, se AB - BA = In , então:
tr(AB - BA) = tr(In) = n
Isso nos dá uma contradição, porque por um lado o traço do comutador deve ser zero, e por outro, estamos dizendo que ele é igual a n .

Resposta

Então, não, não existem matrizes quadradas A e B de ordem n que satisfaçam AB - BA = In .

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