É verdade que existem matrizes e , quadradas de ordem , tais que , onde denota a matriz identidade de ordem ?
Passo 1
Então, a questão que a gente tem aqui é: Será que existem matrizes quadradas e de ordem que, ao calcularmos , o resultado seja a matriz identidade ? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, operações entre elas e uma propriedade chamada “traço” de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz identidade . Ela é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e o resto são 0. Por exemplo, para :
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a operação AB - BA . Isso significa que primeiro multiplicamos A por B e depois subtraímos a multiplicação de B por A . Essa diferença é chamada de comutador de A e B .
Passo 4
Um conceito importante aqui é o “traço” de uma matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal. Por exemplo, o traço de In é n , porque temos n elementos iguais a 1 na diagonal.
Passo 5
Tem uma propriedade bem legal das matrizes: o traço de um comutador sempre é zero. Ou seja:
tr(AB - BA) = tr(AB) - tr(BA) = 0
Isso acontece porque tr(AB) = tr(BA) .
Passo 6
Mas, se AB - BA = In , então:
tr(AB - BA) = tr(In) = n
Isso nos dá uma contradição, porque por um lado o traço do comutador deve ser zero, e por outro, estamos dizendo que ele é igual a n .
Resposta
Então, não, não existem matrizes quadradas A e B de ordem n que satisfaçam AB - BA = In .