O conjunto dos pontos do plano tais que a soma e multiplicação por escalar estão definidas abaixo, é um espaço vetorial?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão é sobre espaços vetoriais, um conceito fundamental na álgebra linear. A gente precisa verificar se um conjunto de pontos no plano, com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas de uma certa maneira, forma ou não um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender as propriedades que definem um espaço vetorial e ver se essas operações satisfazem todas elas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades de um espaço vetorial. Para que um conjunto com operações de soma e multiplicação por escalar seja um espaço vetorial, todas as seguintes condições devem ser atendidas:
- Fechamento da soma: A soma de dois vetores do conjunto também deve estar no conjunto.
- Comutatividade da soma: A ordem dos vetores na soma não altera o resultado.
- Associatividade da soma: A forma como os vetores são agrupados na soma não altera o resultado.
- Existência de elemento neutro: Deve haver um vetor no conjunto que, quando somado a qualquer vetor, não o altera.
- Existência de inversos aditivos: Para cada vetor, deve existir outro vetor que, quando somados, resultam no elemento neutro.
- Fechamento da multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar deve resultar em um vetor que também está no conjunto.
- Compatibilidade da multiplicação por escalares: Multiplicar um vetor por um produto de escalares deve ser o mesmo que multiplicar o vetor por um escalar e depois multiplicar o resultado por outro escalar.
- Identidade da multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por 1 deve resultar no próprio vetor.
- Distributividade da multiplicação em relação à soma de vetores: Multiplicar um vetor pela soma de escalares é o mesmo que multiplicar cada vetor pela soma e depois somar os resultados.
- Distributividade da multiplicação em relação à soma de escalares: A soma de dois vetores multiplicada por um escalar é igual à soma das multiplicações de cada vetor pelo escalar.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as operações definidas no exercício:
- Soma:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar se essas operações satisfazem todas as propriedades de um espaço vetorial.
Passo 4
Primeiro, a fechamento da soma parece estar ok, já que somamos dois pontos e obtemos outro ponto no plano. A comutatividade e a associatividade também são mantidas, já que a soma de componentes funciona normalmente.
Passo 5
Vamos para a multiplicação por escalar. A definição dada é
. Aqui, apenas a primeira componente é afetada pelo escalar, enquanto a segunda permanece a mesma. Isso já nos dá uma pista de que algo pode estar errado.
Passo 6
Vamos verificar a compatibilidade da multiplicação por escalares. Para ser um espaço vetorial, deveríamos ter:
Mas, usando a definição dada:
E:
Aqui, a igualdade é mantida. Então, essa propriedade não está violada.
Passo 7
Agora, vamos verificar a identidade da multiplicação por escalar:
Essa propriedade também está ok.
Passo 8
Vamos para a distributividade da multiplicação em relação à soma de vetores:
Por outro lado:
Comparando os dois resultados, vemos que:
Essa propriedade está ok.
Passo 9
Agora, a distributividade da multiplicação em relação à soma de escalares:
E:
Aqui, os dois resultados não são iguais a menos que
. Isso significa que a propriedade de distributividade em relação à soma de escalares não é satisfeita para todos os vetores do plano.
Passo 10
Além disso, vamos verificar a distributividade da multiplicação em relação à soma de componentes:
Enquanto:
Claramente, a segunda componente não bate, a menos que
. Então, essa propriedade também não é atendida.
Resposta
Então, concluindo, as operações definidas não satisfazem todas as propriedades de um espaço vetorial. Especificamente, a distributividade da multiplicação em relação à soma de escalares não é válida para todos os vetores do plano. Portanto, o conjunto dos pontos do plano com as operações dadas não forma um espaço vetorial.