O conjunto dos pontos do plano tais que a soma e multiplicação por escalar estão definidas abaixo, é um espaço vetorial?
(x1, y2)+(x2, y2) & :=(x1+x2, y1+y2) lambda cdot(x1, y1) & :=(lambda x1, y1)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão é sobre espaços vetoriais, um conceito fundamental na álgebra linear. A gente precisa verificar se um conjunto de pontos no plano, com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas de uma certa maneira, forma ou não um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender as propriedades que definem um espaço vetorial e ver se essas operações satisfazem todas elas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades de um espaço vetorial. Para que um conjunto com operações de soma e multiplicação por escalar seja um espaço vetorial, todas as seguintes condições devem ser atendidas:
  1. Fechamento da soma: A soma de dois vetores do conjunto também deve estar no conjunto.
  2. Comutatividade da soma: A ordem dos vetores na soma não altera o resultado.
  3. Associatividade da soma: A forma como os vetores são agrupados na soma não altera o resultado.
  4. Existência de elemento neutro: Deve haver um vetor no conjunto que, quando somado a qualquer vetor, não o altera.
  5. Existência de inversos aditivos: Para cada vetor, deve existir outro vetor que, quando somados, resultam no elemento neutro.
  6. Fechamento da multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar deve resultar em um vetor que também está no conjunto.
  7. Compatibilidade da multiplicação por escalares: Multiplicar um vetor por um produto de escalares deve ser o mesmo que multiplicar o vetor por um escalar e depois multiplicar o resultado por outro escalar.
  8. Identidade da multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por 1 deve resultar no próprio vetor.
  9. Distributividade da multiplicação em relação à soma de vetores: Multiplicar um vetor pela soma de escalares é o mesmo que multiplicar cada vetor pela soma e depois somar os resultados.
  10. Distributividade da multiplicação em relação à soma de escalares: A soma de dois vetores multiplicada por um escalar é igual à soma das multiplicações de cada vetor pelo escalar.

Passo 3

Agora, vamos olhar para as operações definidas no exercício:
  • Soma:
(x1, y1) + (x2, y2) := (x1 + x2, y1 + y2)
  • Multiplicação por escalar:
lambda cdot (x1, y1) := (lambda x1, y1)
Vamos verificar se essas operações satisfazem todas as propriedades de um espaço vetorial.

Passo 4

Primeiro, a fechamento da soma parece estar ok, já que somamos dois pontos e obtemos outro ponto no plano. A comutatividade e a associatividade também são mantidas, já que a soma de componentes funciona normalmente.

Passo 5

Vamos para a multiplicação por escalar. A definição dada é lambda cdot (x1, y1) = (lambda x1, y1). Aqui, apenas a primeira componente é afetada pelo escalar, enquanto a segunda permanece a mesma. Isso já nos dá uma pista de que algo pode estar errado.

Passo 6

Vamos verificar a compatibilidade da multiplicação por escalares. Para ser um espaço vetorial, deveríamos ter:
lambda (mu cdot (x1, y1)) = (lambda mu) cdot (x1, y1)
Mas, usando a definição dada:
lambda (mu cdot (x1, y1)) = lambda (mu x1, y1) = (lambda mu x1, y1)
E:
(lambda mu) cdot (x1, y1) = (lambda mu x1, y1)
Aqui, a igualdade é mantida. Então, essa propriedade não está violada.

Passo 7

Agora, vamos verificar a identidade da multiplicação por escalar:
1 cdot (x1, y1) = (1 cdot x1, y1) = (x1, y1)
Essa propriedade também está ok.

Passo 8

Vamos para a distributividade da multiplicação em relação à soma de vetores:
lambda cdot [(x1, y1) + (x2, y2)] = lambda cdot (x1 + x2, y1 + y2) = (lambda (x1 + x2), y1 + y2)
Por outro lado:
lambda cdot (x1, y1) + lambda cdot (x2, y2) = (lambda x1, y1) + (lambda x2, y2) = (lambda x1 + lambda x2, y1 + y2)
Comparando os dois resultados, vemos que:
(lambda (x1 + x2), y1 + y2) = (lambda x1 + lambda x2, y1 + y2)
Essa propriedade está ok.

Passo 9

Agora, a distributividade da multiplicação em relação à soma de escalares:
(lambda + mu) cdot (x1, y1) = ((lambda + mu) x1, y1)
E:
lambda cdot (x1, y1) + mu cdot (x1, y1) = (lambda x1, y1) + (mu x1, y1) = (lambda x1 + mu x1, y1 + y1) = ((lambda + mu) x1, 2 y1)
Aqui, os dois resultados não são iguais a menos que y1 = 0. Isso significa que a propriedade de distributividade em relação à soma de escalares não é satisfeita para todos os vetores do plano.

Passo 10

Além disso, vamos verificar a distributividade da multiplicação em relação à soma de componentes:
lambda cdot (x1, y1) + mu cdot (x1, y1) = (lambda x1, y1) + (mu x1, y1) = (lambda x1 + mu x1, y1 + y1) = ((lambda + mu) x1, 2 y1)
Enquanto:
(lambda + mu) cdot (x1, y1) = ((lambda + mu) x1, y1)
Claramente, a segunda componente não bate, a menos que y1 = 0. Então, essa propriedade também não é atendida.

Resposta

Então, concluindo, as operações definidas não satisfazem todas as propriedades de um espaço vetorial. Especificamente, a distributividade da multiplicação em relação à soma de escalares não é válida para todos os vetores do plano. Portanto, o conjunto dos pontos do plano com as operações dadas não forma um espaço vetorial.

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