uma matriz ortogonal (ou seja ) tal que . Verifique que a matriz pode ser escrita da
forma forma
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz de ordem 2, definida por
que é uma matriz ortogonal, ou seja, satisfaz . Além disso, o determinante de é 1 (). Queremos mostrar que essa matriz pode ser escrita na forma de uma matriz de rotação:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes ortogonais, propriedades dos determinantes e trigonometria básica.
Passo 2
Sabemos que uma matriz ortogonal satisfaz , onde é a matriz identidade. Vamos aplicar essa propriedade à nossa matriz :
pois A é ortogonal. Isso nos dá as seguintes equações:
a^2 + c^2 = 1, b^2 + d^2 = 1, ab + cd = 0
Passo 3
Além disso, sabemos que o determinante de A é 1:
det(A) = ad - bc = 1
Isso vai nos ajudar a relacionar os elementos da matriz.
Passo 4
Vamos usar a relação a^2 + c^2 = 1 . Podemos pensar em a e c como componentes de um ponto no círculo trigonométrico, ou seja:
a = cos(theta1), c = sin(theta1),
onde theta1 é um ângulo real.
Passo 5
Agora, usando a equação ab + cd = 0 , substituímos a e c :
cos(theta1)b + sin(theta1)d = 0 implies b = -tan(theta1)d
Mas também sabemos que b^2 + d^2 = 1 . Substituindo b :