Seja
A=(ll a & b c & d )
uma matriz ortogonal (ou seja A^-1=A^t ) tal que det(A)=1. Verifique que a matriz A pode ser escrita da
forma forma
A=(ll a & b c & d )=(cc cos (theta1) & -sen(theta1) sen(theta1) & cos (theta1) )

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz A de ordem 2, definida por
A = a & b c & d ,
que é uma matriz ortogonal, ou seja, satisfaz A^-1 = A^t . Além disso, o determinante de A é 1 ( det(A) = 1 ). Queremos mostrar que essa matriz A pode ser escrita na forma de uma matriz de rotação:
A = cos(theta1) & -sin(theta1) sin(theta1) & cos(theta1)
Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes ortogonais, propriedades dos determinantes e trigonometria básica.

Passo 2

Sabemos que uma matriz ortogonal A satisfaz A^tA = I , onde I é a matriz identidade. Vamos aplicar essa propriedade à nossa matriz A :
A^tA = a & c b & d a & b c & d = a^2 + c^2 & ab + cd ab + cd & b^2 + d^2 = 1 & 0 0 & 1 ,
pois A é ortogonal. Isso nos dá as seguintes equações:
a^2 + c^2 = 1, b^2 + d^2 = 1, ab + cd = 0

Passo 3

Além disso, sabemos que o determinante de A é 1:
det(A) = ad - bc = 1
Isso vai nos ajudar a relacionar os elementos da matriz.

Passo 4

Vamos usar a relação a^2 + c^2 = 1 . Podemos pensar em a e c como componentes de um ponto no círculo trigonométrico, ou seja:
a = cos(theta1), c = sin(theta1),
onde theta1 é um ângulo real.

Passo 5

Agora, usando a equação ab + cd = 0 , substituímos a e c :
cos(theta1)b + sin(theta1)d = 0 implies b = -tan(theta1)d
Mas também sabemos que b^2 + d^2 = 1 . Substituindo b :
(tan^2(theta1)d^2) + d^2 = 1 implies d^2(1 + tan^2(theta1)) = 1
Como 1 + tan^2(theta1) = sec^2(theta1) , temos:
d^2 sec^2(theta1) = 1 implies d = cos(theta1)
Então,
b = -sin(theta1)

Passo 6

Finalmente, usando o determinante ad - bc = 1 :
(cos(theta1))(cos(theta1)) - (-sin(theta1))sin(theta1) = cos^2(theta1) + sin^2(theta1) = 1,
o que confirma nossa escolha.

Resposta

Portanto, a matriz A pode ser escrita na forma de uma matriz de rotação:
A = cos(theta1) & -sin(theta1) sin(theta1) & cos(theta1)

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