Calcule a inversa da matriz A in Mn diagonal:
A=lll ai j neq 0 & se & i=j ai j=0 & se & i neq j

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz AinMn que é diagonal, ou seja, todos os elementos fora da diagonal principal são zero e os elementos da diagonal são aiineq0. Queremos achar a inversa de A. O conteúdo usado será a definição de inversa de matriz e a observação de que matrizes diagonais tornam esse processo muito simples.

Passo 2

Para uma matriz ser invertível, ela deve satisfazer A,A^-1=I, onde I é a matriz identidade. No caso de A diagonal, basta verificar a condição entrada a entrada nessa igualdade.

Passo 3

Seja B=(bij) a candidata a A^-1. Da condição
(A,B)ij=sumk=1^naik,bkj=de<aij,
como aik=0 para kneq i e aiineq0, sobra
aii,bij=de<aij
Para i=j isso dá bii=1/aii, e para ineq j isso dá bij=0.

Passo 4

Concluímos que B é novamente uma matriz diagonal cujos elementos na diagonal são os recíprocos de A.

Resposta

A^-1 = diag!l(1/a11,,1/a22,,dots,,1/annr),
isto 'e,
(A^-1)ij = dfrac1aii, & i = j,[6pt] 0, & i neq j ]

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