- Determine se os vetores
são linearmente independentes em
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções
,
e
são linearmente independentes em
. O conteúdo envolve definição de independência linear em espaço de funções e uso de identidade trigonométrica para relacioná-las.
Passo 2
Lembrando a definição: dizemos que
é linearmente independente se, da igualdade
seguir que
. Caso exista alguma tripla
que satisfaça a igualdade, as funções são linearmente dependentes.
Passo 3
Usamos a identidade trigonométrica
Passo 4
Considere a combinação linear genérica
Substituindo a identidade, obtemos
para todo
.
Passo 5
Como
e
são independentes, é preciso
Isso é um sistema de duas equações para três incógnitas, logo há infinitas soluções não-triviais (por exemplo,
,
,
), o que mostra dependência linear. Uma relação explícita é
Resposta
As funções são linearmente dependentes em
.