1. Determine se os vetores cos x, 1, sen^2(x / 2) são linearmente independentes em C[-pi, pi].

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções cos x, 1 e sin^2!l(tfracx2r) são linearmente independentes em C[-pi,pi]. O conteúdo envolve definição de independência linear em espaço de funções e uso de identidade trigonométrica para relacioná-las.

Passo 2

Lembrando a definição: dizemos que f1,f2,f3 é linearmente independente se, da igualdade
c1 f1(x) + c2 f2(x) + c3 f3(x) = 0para todo xin[-pi,pi],
seguir que c1=c2=c3=0. Caso exista alguma tripla (c1,c2,c3)neq(0,0,0) que satisfaça a igualdade, as funções são linearmente dependentes.

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica
sin^2!l(tfracx2r) = 1 - cos x2

Passo 4

Considere a combinação linear genérica
c1cos x + c2cdot 1 + c3,sin^2!l(tfracx2r) = 0
Substituindo a identidade, obtemos
c1cos x + c2 + c31-cos x2 = l(c1 - tfracc32r)cos x + l(c2 + tfracc32r) = 0
para todo x.

Passo 5

Como cos x e 1 são independentes, é preciso
c1 - tfracc32 = 0, c2 + tfracc32 = 0
Isso é um sistema de duas equações para três incógnitas, logo há infinitas soluções não-triviais (por exemplo, c3=2, c1=1, c2=-1), o que mostra dependência linear. Uma relação explícita é
cos x - 1 + 2,sin^2!l(tfracx2r) = 0

Resposta

As funções são linearmente dependentes em C[-pi,pi].

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