Sejam A=\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 5 \\\\ 2 & 4 & 6\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}4 & 0 \\\\ -2 & 2 \\\\ 1 & 3\end{array}\right]
Calcule A \cdot B

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes:
A=\begin{pmatrix}1 & 3 & 5 \\[4pt] 2 & 4 & 6\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}4 & 0 \\[4pt] -2 & 2 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}
A pergunta é calcular A\cdot B.
Informações relevantes que recebemos:
  • A matriz A tem dimensão 2\times3 (2 linhas e 3 colunas).
  • A matriz B tem dimensão 3\times2 (3 linhas e 2 colunas).
  • A multiplicação A\cdot B é possível porque o número de colunas de A (3) é igual ao número de linhas de B (3).
  • O produto A\cdot B terá dimensão 2\times2 (linhas de A por colunas de B).]

Passo 2

Regra de multiplicação de matrizes (explicação didática): para matrizes A de dimensão m\times n e B de dimensão n\times p, o produto C=A\cdot B é uma matriz m\times p cujos elementos c_{ij} são dados por
c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}.
Aqui:
  • c_{ij} é o elemento da linha i e coluna j de C.
  • a_{ik} é o elemento da linha i e coluna k de A.
  • b_{kj} é o elemento da linha k e coluna j de B.
    Em palavras: para calcular c_{ij} multiplica-se termo a termo a i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de B e soma-se tudo.
Agora vamos aplicar essa fórmula passo a passo para cada entrada da matriz C=A\cdot B, que tem dimensão 2\times2.

Passo 3

Calcular c_{11} (linha 1, coluna 1):
c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}.
Substituindo os valores (pegando-os das matrizes dadas):
c_{11}=1\cdot4 + 3\cdot(-2) + 5\cdot1 = 4 - 6 + 5 = 3.

Passo 4

Calcular c_{12} (linha 1, coluna 2):
c_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}.
Substituindo:
c_{12}=1\cdot0 + 3\cdot2 + 5\cdot3 = 0 + 6 + 15 = 21.

Passo 5

Calcular c_{21} (linha 2, coluna 1):
c_{21}=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31}.
Substituindo:
c_{21}=2\cdot4 + 4\cdot(-2) + 6\cdot1 = 8 - 8 + 6 = 6.

Passo 6

Calcular c_{22} (linha 2, coluna 2):
c_{22}=a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32}.
Substituindo:
c_{22}=2\cdot0 + 4\cdot2 + 6\cdot3 = 0 + 8 + 18 = 26.

Passo 7

Montando a matriz resultado C=A\cdot B com os elementos calculados:
C=\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12} \\[4pt] c_{21} & c_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & 21 \\[4pt] 6 & 26\end{pmatrix}.
Dica rápida para a prova: sempre confirme dimensões antes de multiplicar; depois use “linha \times coluna” e calcule cada entrada como soma de produtos, com calma nos sinais.]

Resposta

\begin{pmatrix}3 & 21 \\[4pt] 6 & 26\end{pmatrix}]

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