Calcule a inversa das matrizes a seguir, quando existir.
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Passo 1
O enunciado pede: calcular a inversa da matriz dada, quando existir. A matriz fornecida é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A matriz é 2 por 2 com entradas
, , , . - É pedido encontrar
se ela existir.]
Passo 2
O que significa “inversa” de uma matriz 2×2?
A matriz é a matriz que, multiplicada por
, dá a matriz identidade
:
A matriz
Para que a inversa exista, é necessário e suficiente que o determinante de
seja diferente de zero. Vamos calcular o determinante.
Passo 3
Fórmula do determinante para matriz 2×2. Para
o determinante é dado por
Aqui, substituindo
,
,
,
, temos
Calcule passo a passo:
logo
Passo 4
Verificação da existência da inversa. Como
, a inversa existe. Boa notícia — a matriz é invertível.
Passo 5
Fórmula prática para a inversa de uma 2×2. Para
a inversa é
Explicando essa fórmula de maneira simples: troca-se
com
, troca-se o sinal de
e de
, e multiplica-se toda a matriz pelo inverso do determinante. Isso vem do cálculo da matriz adjunta/cofatores para o caso
— é a forma mais rápida na prova.]
Passo 6
Aplicando a fórmula ao nosso caso. Substituindo
,
,
,
e
:
Agora distribui-se
:
Passo 7
Verificação rápida (multiplicando para checar identidade). Vamos calcular
e mostrar que resulta em
.
Calcule a entrada
:
Entrada
:
Entrada
:
Entrada
:
Como o produto dá
a inversa encontrada está correta.]