Calcule a inversa das matrizes a seguir, quando existir.
(16) \left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\\\ -4 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: calcular a inversa da matriz dada, quando existir. A matriz fornecida é
A=\left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\[4pt] -4 & 2\end{array}\right].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz é 2 por 2 com entradas a=3, b=-1, c=-4, d=2.
  • É pedido encontrar A^{-1} se ela existir.]

Passo 2

O que significa “inversa” de uma matriz 2×2?
A matriz A^{-1} é a matriz que, multiplicada por A, dá a matriz identidade I_2:
A A^{-1}=A^{-1}A=I_2.
Para que a inversa exista, é necessário e suficiente que o determinante de A seja diferente de zero. Vamos calcular o determinante.

Passo 3

Fórmula do determinante para matriz 2×2. Para
A=\left[\begin{array}{cc}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right],
o determinante é dado por
\det(A)=ad-bc.
Aqui, substituindo a=3, b=-1, c=-4, d=2, temos
\det(A)=3\cdot 2 - (-1)\cdot(-4).
Calcule passo a passo:
3\cdot 2 = 6, \qquad (-1)\cdot(-4)=4,
logo
\det(A)=6-4=2.]

Passo 4

Verificação da existência da inversa. Como \det(A)=2\neq 0, a inversa existe. Boa notícia — a matriz é invertível.

Passo 5

Fórmula prática para a inversa de uma 2×2. Para
A=\left[\begin{array}{cc}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right] \quad\text{com}\quad \det(A)\neq 0,
a inversa é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\left[\begin{array}{cc}d & -b \\[4pt] -c & a\end{array}\right].
Explicando essa fórmula de maneira simples: troca-se a com d, troca-se o sinal de b e de c, e multiplica-se toda a matriz pelo inverso do determinante. Isso vem do cálculo da matriz adjunta/cofatores para o caso 2\times2 — é a forma mais rápida na prova.]

Passo 6

Aplicando a fórmula ao nosso caso. Substituindo a=3, b=-1, c=-4, d=2 e \det(A)=2:
A^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}2 & -(-1) \\[4pt] -(-4) & 3\end{array}\right] =\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\[4pt] 4 & 3\end{array}\right].
Agora distribui-se \tfrac{1}{2}:
A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\tfrac{1}{2}\cdot 2 & \tfrac{1}{2}\cdot 1 \\[6pt] \tfrac{1}{2}\cdot 4 & \tfrac{1}{2}\cdot 3\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}1 & \tfrac{1}{2} \\[6pt] 2 & \tfrac{3}{2}\end{array}\right].]

Passo 7

Verificação rápida (multiplicando para checar identidade). Vamos calcular A\cdot A^{-1} e mostrar que resulta em I_2.
Calcule a entrada (1,1):
3\cdot 1 + (-1)\cdot 2 = 3-2=1.
Entrada (1,2):
3\cdot \tfrac{1}{2} + (-1)\cdot \tfrac{3}{2} = \tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{2}=0.
Entrada (2,1):
(-4)\cdot 1 + 2\cdot 2 = -4+4=0.
Entrada (2,2):
(-4)\cdot \tfrac{1}{2} + 2\cdot \tfrac{3}{2} = -2 +3 =1.
Como o produto dá
A A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right]=I_2,
a inversa encontrada está correta.]

Resposta

A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1 & \tfrac{1}{2} \\[6pt] 2 & \tfrac{3}{2}\end{array}\right]]

Exercícios relacionados