Considerando as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -1 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 1 & 0 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 3 & 1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right]
calcule, se possível:
(c) A^{2}+A B^{T}

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes (copiadas do enunciado):
A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], \qquad B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -1 \end{array}\right].
A pergunta (parte (c)) é calcular, se possível,
A^{2}+A B^{T}.
Informações úteis extraídas dos dados:
  • Ambas as matrizes A e B têm dimensão 2\times2.
  • Como B é 2\times2, o transposto B^{T} também é 2\times2.
  • Logo A^{2} (produto A\cdot A) e A B^{T} (produto A\cdot B^{T}) são ambos definidos e resultam em matrizes 2\times2. Assim a soma A^{2}+A B^{T} é bem definida.

Passo 2

Definição de transposta e cálculo de B^{T}.
  • A transposta de uma matriz B, denotada B^{T}, é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Em índices: (B^{T})_{ij}=B_{ji}.
  • Aplicando isso a B:
B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -1 \end{array}\right] \quad\Rightarrow\quad B^{T}=\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\\\ 2 & -1 \end{array}\right].
(Observação: o elemento da primeira linha e segunda coluna de B é 2; em B^{T} esse valor fica na segunda linha e primeira coluna.)

Passo 3

Cálculo de A^{2}=A\cdot A com a regra de multiplicação de matrizes.
  • Regra: para duas matrizes X e Y compatíveis, o elemento (XY)_{ij} é
(XY)_{ij}=\sum_{k} X_{ik}\,Y_{kj},
onde k varia sobre as colunas de X (ou linhas de Y). Aqui A é 2\times2, então a soma tem k=1,2.
  • Escrevendo A em índices:
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.
  • Calculando cada entrada de A^{2}:
(A^{2})_{11}=a_{11}a_{11}+a_{12}a_{21}=2\cdot2+0\cdot1=4,
(A^{2})_{12}=a_{11}a_{12}+a_{12}a_{22}=2\cdot0+0\cdot1=0,
(A^{2})_{21}=a_{21}a_{11}+a_{22}a_{21}=1\cdot2+1\cdot1=3,
(A^{2})_{22}=a_{21}a_{12}+a_{22}a_{22}=1\cdot0+1\cdot1=1.
Logo
A^{2}=\left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \\\\ 3 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Cálculo de A B^{T}.
  • Usamos a mesma regra de multiplicação, agora com A e B^{T}. Vou denotar por (AB^{T})_{ij}=\sum_{k} A_{ik}(B^{T})_{kj}.
  • Já temos
B^{T}=\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\\\ 2 & -1 \end{array}\right].
  • Calculando as entradas:
(AB^{T})_{11}=A_{11}(B^{T})_{11}+A_{12}(B^{T})_{21}=2\cdot1+0\cdot2=2,
(AB^{T})_{12}=A_{11}(B^{T})_{12}+A_{12}(B^{T})_{22}=2\cdot3+0\cdot(-1)=6,
(AB^{T})_{21}=A_{21}(B^{T})_{11}+A_{22}(B^{T})_{21}=1\cdot1+1\cdot2=3,
(AB^{T})_{22}=A_{21}(B^{T})_{12}+A_{22}(B^{T})_{22}=1\cdot3+1\cdot(-1)=2.
Portanto
AB^{T}=\left[\begin{array}{cc} 2 & 6 \\\\ 3 & 2 \end{array}\right].

Passo 5

Soma das matrizes A^{2} e AB^{T}.
  • Regra: a soma de matrizes de mesma dimensão é feita entrada a entrada:
(A^{2}+AB^{T})_{ij}=(A^{2})_{ij}+(AB^{T})_{ij}.
  • Somando as entradas obtidas:
\left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \\\\ 3 & 1 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 2 & 6 \\\\ 3 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 4+2 & 0+6 \\\\ 3+3 & 1+2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 6 & 6 \\\\ 6 & 3 \end{array}\right].

Resposta

\left[\begin{array}{cc} 6 & 6 \\\\ 6 & 3 \end{array}\right]

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