Encontre a Transformada de Laplace Inversa.
L^{-1}( (6 s^{2}+50)/((s+3)(s^{2}+4)) )

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Precisamos encontrar a Transformada de Laplace Inversa da expressão
Isso envolve conhecimentos de Transformada de Laplace, decomposição em frações parciais e aplicação de transformadas inversas conhecidas. Vamos precisar decompor essa fração em termos mais simples para facilitar a aplicação da transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Queremos escrever a expressão como a soma de termos mais simples. Assumimos a forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelos denominadores comuns para eliminar as frações:

Passo 4

Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Para que as duas expressões sejam iguais para todo valor de , devemos igualar os coeficientes dos termos correspondentes:

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da segunda equação:
  2. Substituindo na primeira equação:
  3. Substituindo e na terceira equação:
Então:

Passo 7

Agora que temos os valores de , e , a decomposição fica:

Passo 8

Vamos separar a segunda fração para facilitar a aplicação da transformada inversa:

Passo 9

Agora aplicamos as transformadas inversas conhecidas:

Resposta

Portanto, a Transformada de Laplace Inversa é:

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