Calcule a ionização percentual do ácido hidrazóico, \mathrm{HN}_{3}, nas soluções cujas concentrações sejam: ( \mathrm{K}_{\mathrm{a}}=2,24 \times 10^{-5} ).
0,40 \mathrm{M};

Passo 1

O enunciado pede a ionização percentual do ácido hidrazóico em uma solução de concentração 0,40\\ \mathrm{M}. Dados fornecidos:
\mathrm{HN}_3 \rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{N}_3^-
K_a = 2,24\times 10^{-5}
O que queremos calcular é a ionização percentual, isto é a fração do ácido inicial que se ioniza, expressa em porcentagem.

Passo 2

Definição útil: a ionização percentual é
\text{ionização percentual} = \frac{[\mathrm{H}^+]_{\text{eq}}}{[\mathrm{HN}_3]_{\text{inicial}}}\times 100\%.çã
Aqui vamos chamar de x a concentração de \mathrm{H}^+ formada na equilibro (então x também é a concentração de \mathrm{N}_3^- formada). Vou montar a tabela ICE (Inicial, Mudança, Equilíbrio).

Passo 3

Tabela ICE:
\begin{array}{c|ccc} & \mathrm{HN}_3 & \rightleftharpoons & \mathrm{H}^+ & + & \mathrm{N}_3^- \\\ \hline \text{inicial (M)} & 0,40 & & 0 & & 0 \\\ \text{variação (M)} & -x & & +x & & +x \\\ \text{equilíbrio (M)} & 0,40-x & & x & & x \end{array}

Passo 4

Expressão da constante de acidez:
K_a = \frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{N}_3^-]}{[\mathrm{HN}_3]} = \frac{x\cdot x}{0,40 - x} = \frac{x^2}{0,40 - x}.
Substituindo K_a:
2,24\times 10^{-5} = \frac{x^2}{0,40 - x}.
Multiplicando ambos os lados por 0,40-x obtemos a equação quadrática:
x^2 + (2,24\times 10^{-5})\,x - (2,24\times 10^{-5})\cdot 0,40 = 0.

Passo 5

Método prático: como K_a é pequeno e esperamos que a ionização seja pequena, podemos usar a aproximação 0,40 - x \approx 0,40. Assim:
x \approx \sqrt{K_a\cdot 0,40}.
Calculemos:
K_a\cdot 0,40 = (2,24\times 10^{-5})\times 0,40 = 8,96\times 10^{-6}.
x \approx \sqrt{8,96\times 10^{-6}} = 2,99\times 10^{-3}\\ \mathrm{M}.

Passo 6

Verificação rigorosa (resolver a quadrática exatamente) para confirmar a aproximação. A fórmula quadrática para
x^2 + K_a x - K_a\cdot 0,40 = 0
é
x = \frac{-K_a + \sqrt{K_a^2 + 4 K_a\cdot 0,40}}{2}.
Calculemos numericamente:
K_a^2 = (2,24\times 10^{-5})^2 = 5,02\times 10^{-10},
4K_a\cdot 0,40 = 3,584\times 10^{-5},
\sqrt{K_a^2 + 4K_a\cdot 0,40} \approx \sqrt{3,58405\times 10^{-5}} \approx 5,9867\times 10^{-3}.
x = \frac{-2,24\times 10^{-5} + 5,9867\times 10^{-3}}{2} \approx 2,982\times 10^{-3}\\ \mathrm{M}.
A solução exata dá x\approx 2,982\times 10^{-3}\\ \mathrm{M}, muito próxima do valor aproximado 2,99\times 10^{-3}\\ \mathrm{M}.

Passo 7

Calcule a ionização percentual:
\text{ionização percentual} = \frac{x}{0,40}\times 100\% = \frac{2,982\times 10^{-3}}{0,40}\times 100\%.çã
\text{ionização percentual} \approx 0,7455\%\\ \approx 0,75\%.çã
Checagem da validade da aproximação: x/0,40 \approx 0,00745 = 0,745\%, isto é menor que 5\%, então a aproximação 0,40-x\approx 0,40 é válida.

Resposta

0,75\%

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