Calcule.
(1-j)^4 j

Passo 1

No enunciado temos calcular (1 - j)^4j. O conteúdo envolve exponenciação de número complexo a potência complexa, e vamos precisar usar a forma polar de um número complexo e a propriedade do logaritmo complexo.

Passo 2

Calcular o módulo e argumento de 1 - j. O módulo é raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2 e o argumento principal é arctanl((-1)/1r) = -pi/4.

Passo 3

Expressar 1 - j em forma polar. Assim temos
1 - j = raiz2,e^-jpi/4

Passo 4

Usar a definição de potência com expoente complexo: (1 - j)^4j = expl(4j,ln(1 - j)r). Para isso precisamos do logaritmo principal de 1 - j:
ln(1 - j) = lnl(raiz2r) + jarg(1 - j) = tfrac12ln2 - jtfracpi4

Passo 5

Substituir no expoente:
4jl(tfrac12ln2 - jtfracpi4r) = 4jtfrac12ln2 - 4j^2tfracpi4 = 2jln2 + pi
Note que usamos j^2=-1, logo -4j^2tfracpi4=pi.

Passo 6

Expressar o resultado em forma exponencial e trigonométrica:
(1 - j)^4j = expl(pi + 2jln2r) = e^pi,e^2jln2 = e^pil[cos(2ln2) + jsin(2ln2)r]

Resposta

e^pil[cos(2ln2) + jsin(2ln2)r]

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