Use o Princípio da Indução Matemática para provar a fórmula do Binômio de Newton
onde
é um inteiro positivo e
, ou seja
Passo 1
O enunciado pede para provar por indução matemática a fórmula do binômio de Newton, ou seja, que para todo inteiro não-negativo
vale
Vamos usar o princípio da indução, precisando do caso base, da hipótese indutiva e do passo indutivo, além da identidade combinatória
Passo 2
Verificamos o caso base para
. Temos
e de outro lado
Logo, a fórmula vale para
.
Passo 3
Suponha que a fórmula valha para um inteiro
, ou seja,
Essa é nossa hipótese de indução.
Passo 4
Mostramos que a fórmula vale para
:
Começamos de
Começamos de
Substituindo a hipótese indutiva:
Agora reindexamos o segundo somatório trocando
por
:
Juntando com o primeiro somatório, o termo de grau
(com
) tem coeficiente
pela identidade de Pascal, e aparecem também corretamente os termos de grau 0 e de grau
.
Passo 5
Logo
Isso completa o passo indutivo, e pelo princípio da indução a fórmula vale para todo inteiro
.
Resposta
Por indução, concluímos que para todo inteiro não negativo
vale