Use o Princípio da Indução Matemática para provar a fórmula do Binômio de Newton
(1+z)^n=sumk=0^nbinomnk z^k,
onde n é um inteiro positivo e binomnk=n!k!(n-k)!, ou seja
(1+z)^n=1+n1! z+n(n-1)2! z^2+cdots+n(n-1)(n-2) cdots(n-k+1)1 z^k+cdots+z^n

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução matemática a fórmula do binômio de Newton, ou seja, que para todo inteiro não-negativo n vale
(1+z)^n=sumk=0^nbinomnkz^k
Vamos usar o princípio da indução, precisando do caso base, da hipótese indutiva e do passo indutivo, além da identidade combinatória

Passo 2

Verificamos o caso base para n=0. Temos
(1+z)^0=1
e de outro lado
sumk=0^0binom0kz^k=binom00z^0=1
Logo, a fórmula vale para n=0.

Passo 3

Suponha que a fórmula valha para um inteiro n, ou seja,
(1+z)^n=sumk=0^nbinomnkz^k
Essa é nossa hipótese de indução.

Passo 4

Mostramos que a fórmula vale para n+1:
Começamos de
(1+z)^n+1=(1+z)^n(1+z)
Substituindo a hipótese indutiva:
(1+z)^n+1=iggl(sumk=0^nbinomnkz^kgr)(1+z) =sumk=0^nbinomnkz^k+sumk=0^nbinomnkz^k+1 
Agora reindexamos o segundo somatório trocando k+1 por k:
sumk=0^nbinomnkz^k+1=sumk=1^n+1binomnk-1z^k
Juntando com o primeiro somatório, o termo de grau k (com 1<= k<= n) tem coeficiente
binomnk+binomnk-1=binomn+1k
pela identidade de Pascal, e aparecem também corretamente os termos de grau 0 e de grau n+1.

Passo 5

Logo
(1+z)^n+1=sumk=0^n+1binomn+1kz^k
Isso completa o passo indutivo, e pelo princípio da indução a fórmula vale para todo inteiro n>=0.

Resposta

Por indução, concluímos que para todo inteiro não negativo n vale
(1+z)^n=sumk=0^nbinomnkz^k

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