Determine o valor principal de Cauchy de cada uma das seguintes integrais convergentes.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor principal de Cauchy da integral
integral-infty^infty x,sin x(x^2+1)(x^2+4),dx,
usando teoria de integrais no plano complexo. Vamos aplicar o Teorema dos Resíduos para isso.

Passo 2

Para transformar a senóide em exponencial, definimos a função complexa
f(z)=z,e^iz(z^2+1)(z^2+4)
e consideramos
I=integral-infty^infty x,e^ix(x^2+1)(x^2+4),dx
A integral original aparece como a parte imaginária de I.

Passo 3

Escolhemos fechar o contorno no semiplano superior por causa de e^iz=e^iRe ze^-Im z, que decai quando Im z>0. Assim, a contribuição da arca de raio infinito tende a zero pelo fator e^-R.

Passo 4

Precisamos localizar os polos simples de f(z) dentro do contorno. As soluções de z^2+1=0 e z^2+4=0 no semiplano superior são
z=ie z=2i

Passo 5

Calculamos os resíduos:
Para z=i:
Para Res(f,i)=limzto i(z-i)z e^iz(z-i)(z+i)(z^2+4) =i e^i,i(2i)((i)^2+4) =e^-16 :

Passo 6

Pelo Teorema dos Resíduos,

Passo 7

A integral original é a parte imaginária de I. Como
I=pi i3(e^-1-e^-2),
temos
integral-infty^infty x,sin x(x^2+1)(x^2+4),dx=Im(I)=pi3(e^-1-e^-2)

Resposta

pi3l(e^-1-e^-2r)

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