Determine o valor principal de Cauchy de cada uma das seguintes integrais convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor principal de Cauchy da integral
usando teoria de integrais no plano complexo. Vamos aplicar o Teorema dos Resíduos para isso.
Passo 2
Para transformar a senóide em exponencial, definimos a função complexa
e consideramos
A integral original aparece como a parte imaginária de
.
Passo 3
Escolhemos fechar o contorno no semiplano superior por causa de
, que decai quando
. Assim, a contribuição da arca de raio infinito tende a zero pelo fator
.
Passo 4
Precisamos localizar os polos simples de
dentro do contorno. As soluções de
e
no semiplano superior são
Passo 5
Calculamos os resíduos:
Para :
Para
Para
:
Passo 6
Pelo Teorema dos Resíduos,
Passo 7
A integral original é a parte imaginária de
. Como
temos