Calcule
(j) lim x +infty x^2(e^1x-1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+infty x^2l(e^1/x-1r).
O conteúdo é limite de funções exponenciais para infinito, e vamos usar expansão em série de Taylor em torno de zero.

Passo 2

Para xto+infty temos 1/xto0, então aplicamos a série de Taylor
e^u = 1 + u + u^22 + o(u^2) (uto0),
tomando u = 1/x.

Passo 3

Substituindo u=1/x na expansão, fica
e^1/x-1 = 1x + 12x^2 + ol(1x^2r)
Multiplicando por x^2, obtemos
x^2l(e^1/x-1r) = x^2l(1x + 12x^2 + ol(tfrac1x^2r)r) = x + 12 + o(1)
O termo dominante é x, que cresce sem limite quando xto+infty.

Resposta

+infty

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