Um gás consiste em N partículas. Explique por que v rms >= v méd é, qualquer que seja a distribuição de velocidades.

Passo 1

O enunciado diz que um gás tem N partículas com velocidades vii=1^N. Queremos mostrar que
vrms ;>=; vmed
para qualquer distribuição dessas velocidades. O conteúdo usado aqui é a desigualdade RMS–AM (root-mean-square >= arithmetic-mean) para números não negativos.

Passo 2

Definimos primeiro as duas quantidades de interesse. A velocidade quadrática média (RMS) é
vrms = raiz1Nsumi=1^N vi^2
e a velocidade média aritmética é
vmed = 1Nsumi=1^N vi

Passo 3

Usamos que todo quadrado é não negativo, ou seja, para cada i valem
l(vi - vmedr)^2 ;>=; 0
Expandindo e somando de i=1 até N obtemos
sumi=1^N l(vi^2 - 2,vi,vmed + vmed^2r) ;>=; 0
Como sumi vi = N,vmed, isso vira
sumi=1^N vi^2 ;-;2,vmed,(N,vmed);+;N,vmed^2 ;>=;0 Longrightarrow sumi=1^N vi^2 ;>=;N,vmed^2
Dividindo por N segue
1Nsumi=1^N vi^2 ;>=;vmed^2

Passo 4

Tirando a raiz em ambos os lados da desigualdade anterior, e lembrando a definição de vrms, conclui-se
vrms = raiz1Nsumi=1^N vi^2 ;>=; vmed

Resposta

vrms ;>=; vmed
para qualquer distribuição de velocidades.

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