Calcule.
[(e / 2)(-1-j raiz3)]^3 pi j

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência de um número complexo elevado a um expoente puramente imaginário. O conteúdo envolvido é potenciação complexa via logaritmo complexo, e vamos precisar:
  1. colocar o número na forma polar, isto é, achar módulo e argumento de
z = e2(-1 - jraiz3),
2) usar a definição , onde .

Passo 2

Vamos definir z = e2(-1 - jraiz3). Primeiro calculamos o módulo:
|z| = e2raiz(-1)^2 + (raiz3)^2 = e2 raiz1+3 = e2 cdot 2 = e
Em seguida, achamos o argumento de -1 - jraiz3: como está no terceiro quadrante, Logo

Passo 3

Agora escrevemos o logaritmo principal de z:

Passo 4

Aplicamos a definição da potência:
Calculando o produto no expoente:
z^3pi j = expl(3pi j cdot Log(z)r) = expl(3pi j cdot (1 - tfrac2pi3j)r)
então o expoente total é 3pi j cdot 1 = 3pi j, 3pi j cdot l(-tfrac2pi3jr) = -2pi^2 j^2 = 2pi^2, .

Passo 5

Agora escrevemos
z^3pi j = exp(2pi^2 + 3pi j) = exp(2pi^2) exp(3pi j)
Usando a fórmula de Euler e^jtheta = costheta + jsintheta e sabendo que cos(3pi) = -1 e sin(3pi)=0, obtemos
exp(3pi j) = -1 + j,0 = -1
Logo

Passo 6

final_answer

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