Usando as regras de derivação, onde f estiver definida, encontre as derivadas das seguintes funções de variável complexa:
f(s)=tgh(s)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(s)=tgh(s), ou seja, de tanh(s), uma função hiperbólica, usando regras de derivação onde ela estiver definida. Vamos precisar usar a definição de tgh(s) como quociente e a regra do quociente.

Passo 2

Lembrando que e que as derivadas das funções hiperbólicas básicas são dadas por
tgh(s)=sinh(s)cosh(s)
e
ddssinh(s)=cosh(s).

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente: se f(s)=u(s)v(s), então
f'(s)=u'(s)v(s)-u(s)v'(s)[v(s)]^2
Aqui u(s)=sinh(s) e v(s)=cosh(s), logo
f'(s)=cosh(s)cdotcosh(s)-sinh(s)cdotsinh(s)cosh^2(s)=cosh^2(s)-sinh^2(s)cosh^2(s)

Passo 4

Usando a identidade hiperbólica cosh^2(s)-sinh^2(s)=1, simplificamos para
f'(s)=1cosh^2(s)

Passo 5

Reconhecendo que , concluímos que

Resposta

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