Calcule o Jacobiano das transformações seguintes:
lu=x cos y-z v=x sen y+2 z w=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado define a transformação
u = xcos y - z, v = xsin y + 2z, w = x^2+y^2
e pede o Jacobiano
J = partial(u,v,w)partial(x,y,z)
Para resolver, vamos calcular as derivadas parciais e montar o determinante da matriz Jacobiana.

Passo 2

As derivadas parciais são:
partial upartial x = cos y, partial upartial y = -,xsin y, partial upartial z = -1,
partial vpartial x = sin y, partial vpartial y = xcos y, partial vpartial z = 2,
partial wpartial x = 2x, partial wpartial y = 2y, partial wpartial z = 0

Passo 3

Montamos a matriz Jacobiana e escrevemos seu determinante:
J = cos y & -,xsin y & -1[6pt] sin y & xcos y & 2[6pt] 2x & 2y & 0 ]

Passo 4

Expandindo pela primeira linha (regra de Laplace):
J = cos y xcos y & 2[3pt] 2y & 0 -(-,xsin y) sin y & 2[3pt] 2x & 0 +(-1) sin y & xcos y[3pt] 2x & 2y
Calculando cada menor:
xcos y & 2 2y & 0 = -4y, sin y & 2 2x & 0 = -4x, sin y & xcos y 2x & 2y =2ysin y - 2x^2cos y
Logo,
J = cos ycdot(-4y) ;+; xsin ycdot(-4x);-;l(2ysin y - 2x^2cos yr)
J = -4ycos y ;-;4x^2sin y ;-;2ysin y ;+;2x^2cos y
J = 2x^2cos y ;-;4x^2sin y ;-;4ycos y ;-;2ysin y ]

Resposta

partial(u,v,w)partial(x,y,z) =2x^2cos y ;-;4x^2sin y ;-;4ycos y ;-;2ysin y

Exercícios relacionados