Calcule o Jacobiano das transformações seguintes:
lu=2 x+y v=2 y-z w=3 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o Jacobiano da transformação
u = 2x + y, v = 2y - z, w = 3x
Estamos trabalhando com a definição de Jacobiano como o determinante da matriz das derivadas parciais de (u,v,w) em relação a (x,y,z).

Passo 2

Vamos montar a matriz jacobiana J = partial(u,v,w)partial(x,y,z). Cada entrada é partial ui/partial xj:
J = partial upartial x & partial upartial y & partial upartial z partial vpartial x & partial vpartial y & partial vpartial z partial wpartial x & partial wpartial y & partial wpartial z = 2 & 1 & 0 0 & 2 & -1 3 & 0 & 0

Passo 3

Para encontrar o Jacobiano, calculamos o determinante de J:
det(J) = 2 & 1 & 0 0 & 2 & -1 3 & 0 & 0
Usando a regra de Sarrus ou Laplace na primeira linha:
det(J) =2cdot2 & -10 & 0 -1cdot0 & -13 & 0 +0cdot(dots) =2cdot(2cdot0-(-1)cdot0)-1cdot(0cdot0-(-1)cdot3) =0-1cdot3 =-3

Resposta

O Jacobiano da transformação é -3.

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