Calcule o Jacobiano das transformações seguintes:
lx=r cos theta y=r sen theta

Passo 1

O enunciado nos dá a mudança de variáveis do plano cartesiano para coordenadas polares, ou seja,
x = rcostheta e y = rsintheta.
Queremos calcular o Jacobiano, isto é, o determinante da matriz de derivadas parciais l(partial(x,y)/partial(r,theta)r).

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais:
partial xpartial r = costheta, partial xpartial theta = -,rsintheta,
partial ypartial r = sintheta, partial ypartial theta = rcostheta
Assim, a matriz Jacobiana é
J = partial xpartial r & partial xpartial theta [6pt] partial ypartial r & partial ypartial theta = costheta & -,rsintheta [4pt] sintheta & rcostheta ]

Passo 3

Calculamos o determinante de J:
det J = l(costhetar)l(rcosthetar) - l(-,rsinthetar)l(sinthetar) = rcos^2theta + rsin^2theta = rl(cos^2theta + sin^2thetar) = r

Resposta

O Jacobiano da transformação l(r,thetar)mapsto(x,y) vale r.

Exercícios relacionados