Calcule o Jacobiano das transformações seguintes:
lx=rho sen varphi cos theta y=rho sen varphi sen theta z=rho cos varphi

Passo 1

O problema pede o determinante da matriz Jacobiana da transformação de coordenadas esféricas
x = rho,sinvarphicostheta, y = rho,sinvarphisintheta, z = rho,cosvarphi
Conteúdo: mudança de variáveis em múltiplas integrais e cálculo de Jacobiano.

Passo 2

Escrevemos a matriz Jacobiana
J = partial(x,y,z)partial(rho,varphi,theta) = partial xpartial rho & partial xpartial varphi & partial xpartial theta partial ypartial rho & partial ypartial varphi & partial ypartial theta partial zpartial rho & partial zpartial varphi & partial zpartial theta
Agora calculamos cada derivada parcial.

Passo 3

Derivadas parciais de x,y,z:
partial xpartial rho=sinvarphicostheta, partial xpartial varphi=rhocosvarphicostheta, partial xpartial theta=-rhosinvarphisintheta;
partial ypartial rho=sinvarphisintheta, partial ypartial varphi=rhocosvarphisintheta, partial ypartial theta=rhosinvarphicostheta;
partial zpartial rho=cosvarphi, partial zpartial varphi=-rhosinvarphi, partial zpartial theta=0

Passo 4

Substituindo em J, temos
J = sinvarphicostheta & rhocosvarphicostheta & -rhosinvarphisintheta sinvarphisintheta & rhocosvarphisintheta & rhosinvarphicostheta cosvarphi & -rhosinvarphi & 0
Calculamos det J por expansão e fatoração, obtendo
det J = rho^2,sinvarphi

Resposta

detpartial(x,y,z)partial(rho,varphi,theta) = rho^2,sinvarphi

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