[20pts] Mostre que a equação a seguir não é exata. Utilizando o fator integrante não linear mu(x, y)=y e^x, adimita que a nova equação obtida é exata e resolva a EDO pelo fator integrante não linear.
(sen(y)y-2 e^-x sen(x)) d x+(cos (y)+2 e^-x cos (x)y) d y=0

Passo 1

Beleza, temos a EDO
l(sin(y)y-2e^-xsin(x)r),dx ;+;l(cos(y)+2e^-xcos(x)yr),dy=0
O conteúdo aqui é “equações diferenciais exatas” e uso de “fator integrante não linear”.
O que a gente vai precisar:
  1. Entender o que significa uma EDO exata (critério das derivadas parciais).
  2. Calcular essas derivadas parciais pra ver que não bate.
  3. Multiplicar tudo por μ(x,y)=y e^x (o fator integrante dado).
  4. Resolver a nova equação, que vai ser exata, achando a função potencial F(x,y).

Passo 2

Primeiro definimos:
M(x,y)=sin(y)y-2e^-xsin(x), N(x,y)=cos(y)+2e^-xcos(x)y
Pra ser exata precisamos
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x
Vamos calcular:
1)
partial Mpartial y =ddy!l(sin(y)yr) -2e^-xddy!l(sin(x)r) =ycos(y)-sin(y)y^2-0 =ycos(y)-sin(y)y^2
partial Npartial x =partialpartial x! l(cos(y)+2e^-xcos(x)yr) =1y,2,ddx!l(e^-xcos(x)r)
E
ddx(e^-xcos(x)) =-e^-xcos(x)-e^-xsin(x) =-e^-x(cos(x)+sin(x)),
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partial Npartial x =2yl[-e^-x(cos(x)+sin(x))r] =-2e^-x(cos(x)+sin(x))y
Como
ycos(y)-sin(y)y^2 ;neq; -2e^-x(cos(x)+sin(x))y,
não é exata.

Passo 3

Agora a gente aplica o fator integrante μ(x,y)=y,e^x. Multiplicando M e N:
widetilde M =y,e^xl(sin(y)y-2e^-xsin(x)r) =e^xsin(y)-2ysin(x),
widetilde N =y,e^xl(cos(y)+2e^-xcos(x)yr) =e^xcos(y)+2cos(x)
Vamos ver se agora é exata:
partial widetilde Mpartial y =partialpartial y(e^xsin(y)-2ysin(x)) =e^xcos(y)-2sin(x),
partial widetilde Npartial x =partialpartial x(e^xcos(y)+2cos(x)) =e^xcos(y)-2sin(x)
Bate certinho, então a nova equação
widetilde M,dx + widetilde N,dy=0
é exata.

Passo 4

Pra resolver a exata a gente busca F(x,y) tal que
Fx=widetilde M=e^xsin(y)-2ysin(x), Fy=widetilde N=e^xcos(y)+2cos(x)
Integrando widetilde M em x:
F(x,y)=integrall(e^xsin(y)-2ysin(x)r),dx =underbracee^xsin(y)sin(y)integral e^x +underbrace2ycos(x)-2yintegralsin(x) +H(y),
ou seja
F(x,y)=e^xsin(y)+2ycos(x)+H(y)
Agora Fy deve dar widetilde N:
Fy=e^xcos(y)+2cos(x)+H'(y) stackrel!= e^xcos(y)+2cos(x),
logo H'(y)=0 e H(y)=constante.

Resposta

A solução geral (implícita) da EDO é
boxede^xsin(y)+2,ycos(x)=C,
onde C é constante.

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