Use a regra da cadeia para achar
ou
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo usando a regra da cadeia. A gente quer encontrar a derivada $ \frac{dz}{dt} $ ou $ \frac{dw}{dt} $, onde $ z = \sqrt{1 + x^{2} + y^{2}} $, $ x = \ln t $ e $ y = \cos t $. Para isso, vamos precisar usar um pouco de derivadas e entender como a regra da cadeia funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a regra da cadeia. Ela serve para calcular a derivada de uma função composta. No nosso caso, $ z $ é uma função de $ x $ e $ y $, que por sua vez são funções de $ t $. Então, para achar $ \frac{dz}{dt} $, vamos derivar $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, e depois multiplicar pelas derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.
Passo 3
Vamos começar encontrando as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $.
A função $ z $ é dada por:
A derivada de $ z $ em relação a $ x $ é:
E a derivada de $ z $ em relação a $ y $ é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.
Para $ x = \ln t $:
Para $ y = \cos t $:
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ z $ em relação a $ t $ é dada por:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão. Note que $ z = \sqrt{1 + x^{2} + y^{2}} $, então podemos substituir:
Resposta
A derivada $ \frac{dz}{dt} $ é: