Use a regra da cadeia para achar d z / d t ou d w / d t
z=raiz1+x^2+y^2, x=ln t y=cos t

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo usando a regra da cadeia. A gente quer encontrar a derivada $ \frac{dz}{dt} $ ou $ \frac{dw}{dt} $, onde $ z = \sqrt{1 + x^{2} + y^{2}} $, $ x = \ln t $ e $ y = \cos t $. Para isso, vamos precisar usar um pouco de derivadas e entender como a regra da cadeia funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a regra da cadeia. Ela serve para calcular a derivada de uma função composta. No nosso caso, $ z $ é uma função de $ x $ e $ y $, que por sua vez são funções de $ t $. Então, para achar $ \frac{dz}{dt} $, vamos derivar $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, e depois multiplicar pelas derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.

Passo 3

Vamos começar encontrando as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $.
A função $ z $ é dada por:
z
A derivada de $ z $ em relação a $ x $ é:
x
E a derivada de $ z $ em relação a $ y $ é:
y

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.
Para $ x = \ln t $:
x
Para $ y = \cos t $:
y

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ z $ em relação a $ t $ é dada por:
z
Substituindo as derivadas que encontramos:
t

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Note que $ z = \sqrt{1 + x^{2} + y^{2}} $, então podemos substituir:
z = raiz1 + x^2 + y^2

Resposta

A derivada $ \frac{dz}{dt} $ é:
dzdt

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