Calcule, justificando, o determinante da matriz
[cc A & B 0 & C ]
onde A in Mm times m, C in Mn times n, B in Mm times n e 0 é a matriz nula n times m.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
M = A & B 0 & C ,
onde AinMmtimes m, CinMntimes n, BinMmtimes n e 0 é a matriz nula ntimes m.
O conteúdo principal é determinante de matriz em bloco triangular.

Passo 2

Pela definição de determinante via permutações,
det(M)=sumsigmain Sm+nsgn(sigma)prodi=1^m+nMi,sigma(i)
Se uma permutação sigma enviar algum i com m+1<= i<= m+n para uma coluna sigma(i)<= m, aí ,Mi,sigma(i)=0 (pois estamos na parte zero). Logo só contribuem as permutações que mandam 1,dots,m em colunas 1,dots,m e m+1,dots,m+n em m+1,dots,m+n.

Passo 3

As permutações que preservam esses dois blocos se decompõem em uma permutação sigmaAin Sm agindo em A e outra sigmaCin Sn agindo em C, com
sgn(sigma)=sgn(sigmaA),sgn(sigmaC),
e o produto dos elementos se separa em
prodi=1^mAi,sigmaA(i)timesprodj=1^nCj,sigmaC(j).
Isso mostra que
det(M) =l(sumsigmaAin Smsgn(sigmaA)!prodi=1^mAi,sigmaA(i)r) l(sumsigmaCin Snsgn(sigmaC)!prodj=1^nCj,sigmaC(j)r)

Resposta

det! A & B 0 & C =det(A),det(C)

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