Um isomorfismo de espaços com produto interno é uma bijeção linear T: X Y que satisfaz lang<= T x, T yrang<==lang<= x, yrang<=, forall x, y in X. Mostre T é um isomorfismo de espaços com produto interno se, e somente se, T é uma isometria.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência entre duas propriedades de uma aplicação linear bijetora Tcolon Xto Y entre espaços com produto interno:
  1. T preserva o produto interno, isto é, lang<= T x, T yrang<= = lang<= x, yrang<= forall,x,yin X
  2. T é uma isometria, isto é, preserva distâncias: |T x - T y| = |x - y| forall,x,yin X
Para isso vamos usar a relação entre produto interno e norma (polarização) e a linearidade de T.

Passo 2

Suponha que T preserve produto interno. Então, para qualquer xin X,
|T x|^2 = lang<= T x, T xrang<= = lang<= x, xrang<= = |x|^2,
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|T x| = |x|
Dessa forma, para quaisquer x,yin X,
|T x - T y| = |T(x - y)| = |x - y|,
ou seja, T preserva distâncias e é isometria.

Passo 3

Agora suponha que T é isometria. Então
|T x| = |x| forall,xin X
Como T é linear, temos T(x+y)=T x+T y. Usamos a identidade de polarização:
lang<= u,vrang<= = 12l(|u+v|^2 - |u|^2 - |v|^2r) forall,u,v
Tomando u=T x e v=T y, obtemos
lang<= T x, T yrang<= = tfrac12l(|T x+T y|^2 - |T x|^2 - |T y|^2r) = tfrac12l(|T(x+y)|^2 - |x|^2 - |y|^2r)
Como |T(x+y)|=|x+y|, isto dá
lang<= T x, T yrang<= = tfrac12l(|x+y|^2 - |x|^2 - |y|^2r) = lang<= x,yrang<=
Logo T preserva o produto interno.

Resposta

Mostramos que T preserva produto interno iff T é isometria.

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