Um isomorfismo de espaços com produto interno é uma bijeção linear
que satisfaz
. Mostre
é um isomorfismo de espaços com produto interno se, e somente se,
é uma isometria.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a equivalência entre duas propriedades de uma aplicação linear bijetora
entre espaços com produto interno:
-
preserva o produto interno, isto é, -
é uma isometria, isto é, preserva distâncias:
Para isso vamos usar a relação entre produto interno e norma (polarização) e a linearidade de
.
Passo 2
Suponha que
preserve produto interno. Então, para qualquer
,
logo
Dessa forma, para quaisquer
,
ou seja,
preserva distâncias e é isometria.
Passo 3
Agora suponha que
é isometria. Então
Como
é linear, temos
. Usamos a identidade de polarização:
Tomando
e
, obtemos
Como
, isto dá
Logo
preserva o produto interno.
Resposta
Mostramos que
preserva produto interno
é isometria.