Considere como subespaço de . Mostre que não existe a melhor aproximação de em . Qual o motivo?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no espaço de Hilbert , o subespaço (sequências de suporte finito) não possui um elemento que forneça a melhor aproximação de
O conteúdo teórico necessário é: em um espaço de Hilbert, um subespaço linear admite projeção ortogonal (melhor aproximação para cada ponto) se e somente se é fechado.
Passo 2
Mostramos que não é fechado em construindo uma sequência em que converge a . Para cada , defina
Claro que e, como veremos, em norma de . Logo, pertence ao fecho de , mas não a propriamente dito, provando que não é fechado.
Passo 3
Calculemos a norma do erro ao aproximar por :
Como a série sum 1/n^2 converge, o resto sumn>N1/n^2to 0 quando Ntoinfty. Logo
l|x - y^(N)r|2;longrightarrow;0
Passo 4
O resultado do passo anterior mostra que
infyin c00l|x-yr|2 = 0
Se existisse um y^*in c00 que realizesse essa distância mínima, teríamos
l|x - y^*r|2 = 0 Longrightarrow x = y^*
Mas xnotin c00 (pois tem infinitos termos não nulos), gerando contradição.
Resposta
Não existe melhor aproximação de x em c00 porque c00 não é fechado em ell2.