Considere c00 como subespaço de ell2. Mostre que não existe a melhor aproximação de x=(1 / n) in ell2 em c00. Qual o motivo?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no espaço de Hilbert ell2, o subespaço c00 (sequências de suporte finito) não possui um elemento que forneça a melhor aproximação de
x = l(1/nr)n=1^inftyinell2
O conteúdo teórico necessário é: em um espaço de Hilbert, um subespaço linear admite projeção ortogonal (melhor aproximação para cada ponto) se e somente se é fechado.

Passo 2

Mostramos que c00 não é fechado em ell2 construindo uma sequência em c00 que converge a x. Para cada NinN, defina
y^(N) = l(1,,1/2,,dots,,1/N,,0,,0,dotsr)in c00
Claro que y^(N)in c00 e, como veremos, y^(N)to x em norma de ell2. Logo, x pertence ao fecho de c00, mas não a c00 propriamente dito, provando que c00 não é fechado.

Passo 3

Calculemos a norma do erro ao aproximar x por y^(N):
l|x - y^(N)r|2^2 = sumn=1^inftyl(xn-y^(N)nr)^2 = sumn=N+1^inftyl(1/nr)^2 = sumn=N+1^infty1n^2
Como a série sum 1/n^2 converge, o resto sumn>N1/n^2to 0 quando Ntoinfty. Logo
l|x - y^(N)r|2;longrightarrow;0

Passo 4

O resultado do passo anterior mostra que
infyin c00l|x-yr|2 = 0
Se existisse um y^*in c00 que realizesse essa distância mínima, teríamos
l|x - y^*r|2 = 0 Longrightarrow x = y^*
Mas xnotin c00 (pois tem infinitos termos não nulos), gerando contradição.

Resposta

Não existe melhor aproximação de x em c00 porque c00 não é fechado em ell2.

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