Dados os planos π1: x-y+2 z=1, π2: x+2 y-z=3 e π3: x+2 y-3 z=2, e as retas r1:(0,1,1)+t(1,2,1) e r2: x=y+2=z+1. Determine:
os pontos da reta r1, que equidistam dos planos π1 e π2;

Passo 1

Resumindo, queremos os pontos de r1 que têm a mesma distância a
pi1colon x - y + 2z = 1 e a
pi2colon x + 2y - z = 3.
O conteúdo necessário é a fórmula da distância de um ponto (x,y,z) ao plano
Ax+By+Cz+D=0: d=l|Ax+By+Cz+Dr|raizA^2+B^2+C^2

Passo 2

Parâmetrizamos a reta r1. Como r1:(0,1,1)+t(1,2,1), temos
x=t, y=1+2t, z=1+t

Passo 3

Calculamos a expressão do numerador da distância a pi1. Colocando em forma x-y+2z-1=0, obtemos
E1=x - y + 2z - 1 =t - (1+2t) + 2(1+t) -1 =t

Passo 4

Analogamente, para pi2colon x+2y-z-3=0 temos
E2=x + 2y - z - 3 =t + 2(1+2t) - (1+t) -3 =4t -2

Passo 5

Como |nablapi1|=raiz1^2+(-1)^2+2^2=raiz6 e
|nablapi2|=raiz1^2+2^2+(-1)^2=raiz6, os denominadores são iguais e a condição de equidistância l|E1r|=l|E2r| vira
|t| = |4t - 2|

Passo 6

Resolvemos as duas possibilidades:
  1. t = 4t - 2 implies -3t = -2 implies t = tfrac23
  2. t = -(4t - 2) implies t = -4t + 2 implies 5t = 2 implies t = tfrac25

Passo 7

Substituímos em (x,y,z)=(t,1+2t,1+t):
  • Para t=tfrac23: l(x,y,zr) =l(tfrac23,,1+tfrac43,,1+tfrac23r) =l(tfrac23,,tfrac73,,tfrac53r)
  • Para t=tfrac25: l(x,y,zr) =l(tfrac25,,1+tfrac45,,1+tfrac25r) =l(tfrac25,,tfrac95,,tfrac75r)

Resposta

Os pontos de r1 equidistantes de pi1 e pi2 são
l(tfrac23,,tfrac73,,tfrac53r) e l(tfrac25,,tfrac95,,tfrac75r)

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