(2,0)Calcule e justifique.(sem L’Hospital)
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}
O conteúdo é limite de funções trigonométricas sem usar L’Hospital. Vamos usar que já conhecemos o limite fundamental
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1
e que \cos x\to 1 quando x\to 0.

Passo 2

Reescrevemos \tan x em termos de seno e cosseno:
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.
Logo,
\frac{\tan x}{x} = \frac{1}{x}\,\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin x}{x}\,\frac{1}{\cos x}.

Passo 3

Sabemos que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 4

Como \cos x é contínua em 0 e \cos 0=1, temos
\lim_{x\to 0}\cos x = 1 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}= \frac{1}{1}=1.

Passo 5

Usando o teorema do produto de limites:
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\;\times\;\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x} = 1 \times 1 = 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados