Durante a verificação de amostras de argamassa, cada amostra pode estar dentro das especificações (X=1) ou fora das especificações (X=0). Sabe-se que 18 \% das amostras apresentam irregularidades. Modele X como uma variável aleatória e calcule:
(a) A função de probabilidade de X;
(b) A probabilidade de uma amostra estar dentro das especificações;
(c) O valor esperado e a variância de X.

Passo 1

O enunciado pede para modelar X como uma variável aleatória que assume valor 1 se a amostra está dentro das especificações e 0 caso contrário. Sabe-se que 18\% das amostras estão fora das especificações, ou seja, \mathbb{P}(X=0)=0,18. Vamos usar a distribuição de Bernoulli, cujas fórmulas de probabilidade, valor esperado e variância são bem conhecidas.

Passo 2

A função de probabilidade de uma Bernoulli com parâmetro p=\mathbb{P}(X=1)\) é dada por \[\mathbb{P}(X=x)= \begin{cases} 1-p, & x=0,\\\ p, & x=1,\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Como \mathbb{P}(X=0)=0,18\], segue que \(1-p=0,18 e portanto p=0,82.

Passo 3

A probabilidade de uma amostra estar dentro das especificações é exatamente
\mathbb{P}(X=1)=0,82.

Passo 4

Para a Bernoulli valendo 1 com probabilidade p e 0 com probabilidade 1-p, temos
E(X)=p
e
\operatorname{Var}(X)=p\,(1-p).
Substituindo p=0,82:
E(X)=0,82,
\operatorname{Var}(X)=0,82\times0,18=0,1476.

Resposta

(a) \mathbb{P}(X=0)=0,18,\ \mathbb{P}(X=1)=0,82.
(b) \mathbb{P}(X=1)=0,82.
(c) E(X)=0,82,\ \operatorname{Var}(X)=0,1476.

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