O tempo de espera para o carregamento de um caminhão betoneira em uma central de concreto é modelado como uma variável aleatória contínua Y, com distribuição uniforme no intervalo de 5 a 15 minutos.
Calcule o valor esperado do tempo de espera.

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de espera Y segue uma distribuição uniforme no intervalo de 5 a 15 minutos e pede o valor esperado. O conteúdo aqui é a expectativa de uma variável contínua uniforme, que podemos obter usando a densidade ou a fórmula direta \frac{a+b}{2}.

Passo 2

A densidade de probabilidade de Y é
f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac{1}{15-5}=\dfrac{1}{10},&5\le y\le15,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 3

Pela definição de valor esperado de variável contínua,
E[Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}y\,f_Y(y)\,dy,
que, pelo suporte de Y, vira
E[Y]=\int_{5}^{15}y\cdot\dfrac{1}{10}\,dy.

Passo 4

Calculando a integral:
E[Y] =\frac{1}{10}\int_{5}^{15}y\,dy =\frac{1}{10}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{5}^{15} =\frac{1}{10}\cdot\frac{15^{2}-5^{2}}{2} =\frac{1}{10}\cdot\frac{225-25}{2} =\frac{1}{10}\cdot100 =10.

Resposta

O valor esperado do tempo de espera é 10 minutos.

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