Calcule e justifique.
lim h 0 (x+h)^3-x^3h

Passo 1

O enunciado pede a gente calcular o limite limhto0(x+h)^3 - x^3h. Esse tipo de expressão é justamente o quociente de diferença que nos leva à derivada da função f(x)=x^3. Para resolver, vamos usar o binômio de Newton e propriedades básicas de limites.

Passo 2

Aplicamos o binômio de Newton para expandir (x+h)^3 e subtrair x^3:
(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3
Logo,
(x+h)^3 - x^3 = (x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - x^3 = 3x^2h + 3xh^2 + h^3

Passo 3

Agora fatoramos h no numerador e simplificamos com o denominador:
3x^2h + 3xh^2 + h^3 = hl(3x^2 + 3xh + h^2r)
Assim,
(x+h)^3 - x^3h = 3x^2 + 3xh + h^2

Passo 4

Por fim, tomamos o limite quando hto0. Como a soma de limites é o limite da soma e limhto0h=0, limhto0h^2=0, temos
limhto0(3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2 + 3xcdot0 + 0 = 3x^2

Resposta

3x^2

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