Calcule e justifique.
lim x 0 3 x^2tg(x) sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0 3 x^2tg(x) sen(x). Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, que é uma parte fundamental do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam as funções trigonométricas tg(x) e sen(x) perto de zero, além de conhecer algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tg(x) = sen(x)cos(x). Então, podemos reescrever o denominador da nossa expressão:
tg(x) sen(x) = sen(x)cos(x) cdot sen(x) = sen^2(x)cos(x)

Passo 3

Agora, a expressão do limite fica:
limx 0 3x^2sen^2(x)cos(x) = limx 0 3x^2 cdot cos(x)sen^2(x)

Passo 4

Sabemos que, quando x se aproxima de 0, sen(x) é aproximadamente igual a x, ou seja, sen(x) approx x. Além disso, cos(x) se aproxima de 1, pois cos(0) = 1.

Passo 5

Substituindo essas aproximações na nossa expressão:
3x^2 cdot cos(x)sen^2(x) approx 3x^2 cdot 1x^2 = 3x^2x^2 = 3

Resposta

Portanto, o limite é igual a 3.

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