2
Verifique se as esquações são homogêneas e, se forem, as resolva.
  1. y^prime=y+xx

Passo 1

O enunciado pede verificar se a equação y' = y + xx é homogênea e, em caso afirmativo, resolvê-la. Conteúdo: equações diferenciais de primeira ordem homogêneas.

Passo 2

Verificamos se a função f(x,y) = y + xx é homogênea de grau zero. Note que
f(tx,ty) = t y + t xt x = t(y + x)t x = y + xx = f(x,y)
Logo, a equação é homogênea.

Passo 3

Para resolver equações homogêneas, fazemos a substituição y = v x, o que implica
y' = v + xdvdx

Passo 4

Substituindo na equação original, temos
v + xdvdx = v x + xx = v + 1
Isso simplifica para
xdvdx = 1

Passo 5

Separamos as variáveis:
dvdx = 1x Longrightarrow dv = dxx
Integrando ambos os lados, obtemos
v = ln|x| + C

Passo 6

Voltando à variável original,
y = v x = x(ln|x| + C) = xln|x| + Cx

Resposta

y = xln|x| + Cx

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