Sejam f(t)=a t+b t^2 e g(t)=t i+sen t j+cos t k, com a=i+j e b=2 i-j ; 0 <= t <= 2 pi. Calcular:
4. Sejam f(t)=t i+2 t^2 j+3 t^3 k e g(t)=2 t i+j-3 t^2 k, t >= 0. Calcular:
(a) lim t 1[3 f(t)-12 g(t)]

Passo 1

O enunciado pede o limite quando t→1 de uma combinação linear de duas funções vetoriais f e g. O conteúdo aqui é cálculo de limite de função vetorial e usaremos a propriedade da linearidade do limite, além de avaliar f e g em t=1.

Passo 2

Para funções vetoriais contínuas em t=1 (que são polinomiais em t), podemos usar a propriedade
que diz que o limite de uma combinação linear é a combinação linear dos limites:
limtto1l(3f(t)-tfrac12g(t)r)=3limtto1f(t)-tfrac12limtto1g(t)

Passo 3

Vamos avaliar as funções em t=1. Substituindo t=1 em f(t)=ti+2t^2j+3t^3k e em g(t)=2ti+j-3t^2k obtemos:
f(1)=1i+2j+3k,
g(1)=2i+j-3k

Passo 4

Agora calculamos a combinação linear:
3f(1)=3i+6j+9k,
tfrac12g(1)=1i+tfrac12j-tfrac32k
Subtraindo:
3f(1)-tfrac12g(1)=(3-1)i+(6-tfrac12)j+(9-(-tfrac32))k

Passo 5

Fazendo as contas finais:
3-1=2,
6-tfrac12=tfrac112,
9+tfrac32=tfrac212
Logo o limite é 2i+tfrac112j+tfrac212k.

Resposta

2\vec{i}+\tfrac{11}{2}\vec{j}+\tfrac{21}{2}\vec{k}

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