Calcule e justifique.
lim x pi / 2 1-sen(x)2 x-pi

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular o limite limxtopi21-sin(x)2x-pi. O conteúdo envolve limites de tipo 0/0 e vamos usar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Verificação da forma indeterminada: substituindo x=pi2 temos numerador 1-sin(pi/2)=0 e denominador 2(pi/2)-pi=0, ou seja, é uma indeterminação 0/0.

Passo 3

Aplicação da regra de L’Hôpital: como temos indeterminação 0/0, podemos derivar numerador e denomindor separadamente.
Cálculo das derivadas e novo limite: derivando o numerador 1-sin(x) obtemos -cos(x) e o denominador 2x-pi vira 2. Logo,
limxtopi21-sin(x)2x-pi=limxtopi2-cos(x)2

Passo 4

Avaliação final: como cos(pi/2)=0, o limite fica 0/2=0.

Resposta

0

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