Determine, utilizando coordenadas esféricas, o volume da esfera de raio a e verifique se há coerência com o caso a=b=c.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume de uma esfera de raio a usando coordenadas esféricas e depois comparar com o caso genérico de um elipsoide quando os semi-eixos são todos iguais ( a=b=c). Vamos precisar do jacobiano do sistema esférico, dos limites de integração e da integral tripla para volume.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos as variáveis r (distância radial), theta (ângulo polar, de 0 a pi) e phi (ângulo azimutal, de 0 a 2pi). O elemento de volume é dado por dV = r^2 sintheta,dr,dtheta,dphi.

Passo 3

O volume da esfera é então a integral tripla
V = integralr=0^aintegraltheta=0^piintegralphi=0^2pi r^2 sintheta ,dphi,dtheta,dr

Passo 4

Começamos integrando em phi:
integral0^2pi dphi = 2pi

Passo 5

Depois em theta:
integral0^pi sintheta ,dtheta = 2

Passo 6

Por fim em r:
integral0^a r^2 ,dr = a^33

Passo 7

Multiplicando tudo:
V = 2pi times 2 times a^33 = 4pi a^33

Passo 8

Sabemos que o volume de um elipsoide de semi-eixos a,b,c é Velip=tfrac4pi3abc. Se fizermos a=b=c, então
Velip=4pi3a,a,a = 4pi a^33,
que coincide exatamente com o volume da esfera, mostrando coerência.

Resposta

V=tfrac4pi a^33

Exercícios relacionados