Determine, utilizando coordenadas esféricas, o volume da esfera de raio
e verifique se há coerência com o caso
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume de uma esfera de raio
usando coordenadas esféricas e depois comparar com o caso genérico de um elipsoide quando os semi-eixos são todos iguais (
). Vamos precisar do jacobiano do sistema esférico, dos limites de integração e da integral tripla para volume.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos as variáveis
(distância radial),
(ângulo polar, de 0 a
) e
(ângulo azimutal, de 0 a
). O elemento de volume é dado por
.
Passo 3
O volume da esfera é então a integral tripla
Passo 4
Começamos integrando em
:
Passo 5
Depois em
:
Passo 6
Por fim em
:
Passo 7
Multiplicando tudo:
Passo 8
Sabemos que o volume de um elipsoide de semi-eixos
é
. Se fizermos
, então
que coincide exatamente com o volume da esfera, mostrando coerência.