Calcule e justifique.
lim x 0 sen(3 x)x

Passo 1

Nesse exercício queremos calcular o limite de uma função trigonométrica quando x tende a zero. O conteúdo principal é o limite notório limuto0 sin uu = 1, e vamos usá-lo para resolver limxto0 sin(3x)x.

Passo 2

Para simplificar a expressão, fazemos a substituição u = 3x. Note que quando x to 0, também u to 0. Assim podemos reescrever:
[
\frac{\sin(3x)}{x}
= \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot 3
]
Agora analisamos o limite de cada parte. Sabemos que u=3x e que
limuto0 sin uu = 1

Passo 3

Logo, como u = 3x to 0 quando x to 0, temos
limxto0 sin(3x)3x = 1

Passo 4

Multiplicando pelo fator 3 que ficou fora da fração, concluímos que
limxto0 sin(3x)x = 1 cdot 3 = 3

Resposta

3

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