Calcule e justifique.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{2}}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{2}}{x-2},
que é uma indeterminação do tipo 0/0. Vamos usar fatoração de diferença de potências para eliminar esse tipo de forma indeterminada.

Passo 2

Observe que
(\sqrt[4]{x})^4 - (\sqrt[4]{2})^4 = x - 2
e que, pela fatoração de a^4-b^4, temos
x - 2 = \bigl(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{2}\bigr)\bigl(\sqrt[4]{x}^3 + \sqrt[4]{x}^2\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{x}\sqrt[4]{2}^2 + \sqrt[4]{2}^3\bigr).
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\frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{2}}{x-2} = \frac{1}{\sqrt[4]{x}^3 + \sqrt[4]{x}^2\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{x}\sqrt[4]{2}^2 + \sqrt[4]{2}^3}.

Passo 3

Agora avaliamos o limite quando x\to 2. Note que \sqrt[4]{2}=2^{1/4}, logo
\sqrt[4]{2}^2=2^{1/2},\quad \sqrt[4]{2}^3=2^{3/4}.
Substituindo em cada termo do denominador:
\sqrt[4]{x}^3\bigl|_{x=2}=2^{3/4},\quad \sqrt[4]{x}^2\sqrt[4]{2}\bigl|_{x=2}=2^{1/2}\,2^{1/4}=2^{3/4},
\sqrt[4]{x}\sqrt[4]{2}^2\bigl|_{x=2}=2^{1/4}\,2^{1/2}=2^{3/4},\quad \sqrt[4]{2}^3=2^{3/4}.
Assim o denominador tende a
2^{3/4}+2^{3/4}+2^{3/4}+2^{3/4}=4\cdot2^{3/4}.

Resposta

\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{2}}{x-2} = \frac{1}{4\cdot2^{3/4}} = \frac{1}{4}\,2^{-3/4}.

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