(2,0) - Para uma dada liga metálica, as seguintes tensões verdadeiras produzem as deformaçŏes plásticas verdadeiras correspondentes:
Tensão Verdadeira (psi) Deformaçio Verdadeira
50000 0,20
60000 0,50
Se o comprimento original de um corpo de provas desse material é 600 mm , quanto ele se alongará quando for aplicada uma tensão verdadeira de 300 MPa ?
Fazer o arredondamento final (resposta) para duas casas decimais.
Resposta: \Delta l= \_\_\_\_ m m

Passo 1

O enunciado dá duas medições de tensão verdadeira e a deformação verdadeira correspondente e pede o alongamento absoluto quando se aplica uma tensão verdadeira de 300\\ \mathrm{MPa} a um corpo de prova com comprimento original l_{0}=600\\ \mathrm{mm}. Dados fornecidos (da tabela):
\sigma_{1}=50000\\ \text{psi},\quad \varepsilon_{1}=0,20
\sigma_{2}=60000\\ \text{psi},\quad \varepsilon_{2}=0,50
Pedido: calcular \Delta l (em mm) quando \sigma=300\\ \mathrm{MPa}. A resposta final deve ser arredondada para duas casas decimais.

Passo 2

Modelo escolhido e por quê: vamos ajustar uma lei de potência do tipo
\sigma = K\,\varepsilon^{n},
onde \sigma é a tensão verdadeira, \varepsilon é a deformação verdadeira, K e n são constantes do material. Essa forma é muito usada para comportamento plástico (Lei de Hollomon). Aqui:
  • K é uma constante de resistência (mesmas unidades de \sigma);
  • n é o expoente de encruamento (adimensional).
Como temos duas medições, podemos determinar n e K. Para n usamos a razão das duas equações e o logaritmo:
n=\frac{\ln\!\left(\dfrac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}}\right)}.
Observação prática: as duas tensões foram dadas em psi, então a razão \sigma_{2}/\sigma_{1} independe de conversão de unidades (vai cancelar).

Passo 3

Cálculo de n:
\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}=\frac{60000}{50000}=1,2,\qquad \frac{\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}}=\frac{0,50}{0,20}=2,5.
n=\frac{\ln(1,2)}{\ln(2,5)}=\frac{0,1823215568}{0,9162907319}=0,199003\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Cálculo de K. Usamos uma das medições; por exemplo a primeira:
K=\frac{\sigma_{1}}{\varepsilon_{1}^{\,n}}.
Calculamos \varepsilon_{1}^{\,n} como e^{n\ln(\varepsilon_{1})}:
\varepsilon_{1}^{\,n}=0,2^{\,0,199003}=e^{0,199003\cdot\ln(0,2)}\approx 0,72594.
K=\frac{50000\\ \text{psi}}{0,72594}\approx 68892{,}6\\ \text{psi}.
Convertendo K para \mathrm{MPa} (1 psi =0,006894757\\ \mathrm{MPa}):
K\approx 68892{,}6\times 0,006894757\approx 474{,}999\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Determinar a deformação verdadeira \varepsilon correspondente a \sigma=300\\ \mathrm{MPa}. Invertendo a lei de potência:
\varepsilon=\left(\frac{\sigma}{K}\right)^{1/n}.
Substituindo (tudo em \mathrm{MPa}):
\frac{\sigma}{K}=\frac{300}{474{,}999}\approx 0,631859,
\varepsilon = \exp\!\left(\frac{\ln(0,631859)}{0,199003}\right)\approx 0,099695.

Passo 6

Converter deformação verdadeira em alongamento absoluto. Definição de deformação verdadeira (logarítmica):
\varepsilon=\ln\!\left(\frac{l}{l_{0}}\right)\quad\Rightarrow\quad l=l_{0}\,e^{\varepsilon}.
O alongamento absoluto é
\Delta l = l-l_{0}=l_{0}\left(e^{\varepsilon}-1\right).
Com l_{0}=600\\ \mathrm{mm} e \varepsilon\approx 0,099695:
e^{\varepsilon}\approx e^{0,099695}\approx 1,1048295,
\Delta l =600\cdot(1,1048295-1)=600\cdot 0,1048295\approx 62,8977\\ \mathrm{mm}.
Arredondando para duas casas decimais: \Delta l=62,90\\ \mathrm{mm}.

Resposta

\Delta l = 62,90\\ \mathrm{mm}

Exercícios relacionados